系统六大特性判断：线性、时不变、因果、稳定、无记忆与可逆

系统的线性、时不变、因果、稳定、无记忆和可逆性是控制系统和信号处理中的几个重要性质。为了对一个系统进行分析，需要根据其数学模型或输入输出关系判断是否具备这些性质。以下是这些性质的定义、判断方法和具体的判断过程。

1. 线性性 (Linearity)

定义：

一个系统是线性的，如果它同时满足叠加性和齐次性两大性质：

• 叠加性：对输入 x 1 ( t ) x_1(t) x1​(t)和 x 2 ( t ) x_2(t) x2​(t)，输出分别为 y 1 ( t ) y_1(t) y1​(t)和 y 2 ( t ) y_2(t) y2​(t)，那么当输入为 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) x_1(t) + x_2(t) x1​(t)+x2​(t)时，输出应该为 y 1 ( t ) + y 2 ( t ) y_1(t) + y_2(t) y1​(t)+y2​(t)。
• 齐次性：若输入 x ( t ) x(t) x(t)乘以一个常数 a a a，输出应乘以相同的常数 a a a，即当输入为 a x ( t ) a x(t) ax(t)时，输出为 a y ( t ) a y(t) ay(t)。

判断过程：

1. 取两个不同的输入信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1​(t)和 x 2 ( t ) x_2(t) x2​(t)，计算其对应输出 y 1 ( t ) y_1(t) y1​(t)和 y 2 ( t ) y_2(t) y2​(t)。
2. 检查对输入 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) x_1(t) + x_2(t) x1​(t)+x2​(t)是否有 y 1 ( t ) + y 2 ( t ) y_1(t) + y_2(t) y1​(t)+y2​(t)对应输出，若成立，则满足叠加性。
3. 检查对输入 a x ( t ) a x(t) ax(t)，输出是否为 a y ( t ) a y(t) ay(t)，若成立，则满足齐次性。

示例：

考虑一个系统 y ( t ) = 3 x ( t ) y(t) = 3x(t) y(t)=3x(t)，

• 若输入为 x 1 ( t ) = t x_1(t) = t x1​(t)=t和 x 2 ( t ) = t 2 x_2(t) = t^2 x2​(t)=t2，对应的输出为 y 1 ( t ) = 3 t y_1(t) = 3t y1​(t)=3t和 y 2 ( t ) = 3 t 2 y_2(t) = 3t^2 y2​(t)=3t2，那么输入 x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = t + t 2 x_1(t) + x_2(t) = t + t^2 x1​(t)+x2​(t)=t+t2对应的输出为 3 ( t + t 2 ) = 3 t + 3 t 2 3(t +t^2) = 3t + 3t^2 3(t+t2)=3t+3t2，满足叠加性。
• 对输入 a x ( t ) a x(t) ax(t)，输出为 3 a x ( t ) 3a x(t) 3ax(t)，满足齐次性。
  因此，该系统是线性的。

2. 时不变性 (Time-Invariance)

定义：

一个系统是时不变的，如果输入信号延迟一段时间，输出信号也同样延迟相同的时间。也就是说，若输入 x ( t ) x(t) x(t)的输出为 y ( t ) y(t) y(t)，则对任意延迟 τ \tau τ，输入 x ( t − τ ) x(t-\tau) x(t−τ)的输出应为 y ( t − τ ) y(t-\tau) y(t−τ)。

判断过程：

1. 选择一个输入信号 x ( t ) x(t) x(t)，计算其对应输出 y ( t ) y(t) y(t)。
2. 令输入信号延迟 τ \tau τ，即 x ( t − τ ) x(t-\tau) x(t−τ)，计算其对应的输出。
3. 如果输出也是延迟 τ \tau τ，即 y ( t − τ ) y(t-\tau) y(t−τ)，则系统是时不变的。

示例：

考虑系统 y ( t ) = 3 x ( t ) y(t) = 3x(t) y(t)=3x(t)，

• 对输入 x ( t ) = t x(t) = t x(t)=t，输出为 y ( t ) = 3 t y(t) = 3t y(t)=3t。
• 若输入延迟 τ \tau τ即 x ( t − τ ) = t − τ x(t-\tau) = t - \tau x(t−τ)=t−τ，输出为 3 ( t − τ ) = 3 t − 3 τ 3(t-\tau) = 3t - 3\tau 3(t−τ)=3t−3τ，因此输出延迟了相同的时间 τ \tau τ，系统是时不变的。

3. 因果性 (Causality)

定义：

一个系统是因果的，如果输出仅依赖于当前及过去的输入，而不依赖于未来的输入。即系统的输出 y ( t ) y(t) y(t)只与 x ( t ′ ) x(t') x(t′)有关，其中 t ′ ≤ t t' \leq t t′≤t。

判断过程：

1. 检查系统的输出 y ( t ) y(t) y(t)是否只依赖于当前及之前的输入 x ( t ′ ) x(t') x(t′)（即 t ′ ≤ t t' \leq t t′≤t）。
2. 若系统输出不依赖于未来的输入，则系统是因果的。

示例：

考虑系统 y ( t ) = 3 x ( t − 1 ) y(t) = 3x(t-1) y(t)=3x(t−1)，

• 系统输出在时刻 t t t仅依赖于$x(t-1) $，即依赖于过去的输入，因此系统是因果的。

4. 稳定性 (Stability)

定义：

一个系统是稳定的，如果对任何有界输入 x ( t ) x(t) x(t)，输出 y ( t ) y(t) y(t)也必然是有界的。形式上，若 ∣ x ( t ) ∣ ≤ M x |x(t)| \leq M_x ∣x(t)∣≤Mx​对于所有 t t t成立，则 ∣ y ( t ) ∣ ≤ M y |y(t)| \leq M_y ∣y(t)∣≤My​对于所有 t t t也必须成立。

判断过程：

1. 假设输入信号 x ( t ) x(t) x(t)是有界的，即存在常数 M x M_x Mx​，使得 ∣ x ( t ) ∣ ≤ M x |x(t)| \leq M_x ∣x(t)∣≤Mx​。
2. 计算输出 y ( t ) y(t) y(t)，检查是否有界，即是否存在常数 M y M_y My​使得 ∣ y ( t ) ∣ ≤ M y |y(t)| \leq M_y ∣y(t)∣≤My​。

示例：

考虑系统 y ( t ) = 3 x ( t ) y(t) = 3x(t) y(t)=3x(t)，

• 对于任何有界输入 ∣ x ( t ) ∣ ≤ M x |x(t)| \leq M_x ∣x(t)∣≤Mx​，输出为 ∣ y ( t ) ∣ = 3 ∣ x ( t ) ∣ ≤ 3 M x |y(t)| = 3|x(t)| \leq 3M_x ∣y(t)∣=3∣x(t)∣≤3Mx​，因此系统是稳定的。

5. 无记忆性 (Memorylessness)

定义：

一个系统是无记忆的，如果系统的输出在某一时刻只依赖于该时刻的输入，而不依赖于过去或未来的输入。即 y ( t ) y(t) y(t)只与 x ( t ) x(t) x(t)有关。

判断过程：

1. 检查系统的输出 y ( t ) y(t) y(t)是否只依赖于输入 x ( t ) x(t) x(t)，而不依赖于其他时间的输入。

示例：

考虑系统 y ( t ) = 3 x ( t ) y(t) = 3x(t) y(t)=3x(t)，

• 输出 y ( t ) y(t) y(t)只依赖于当前输入 x ( t ) x(t) x(t)，因此系统是无记忆的。

6. 可逆性 (Invertibility)

定义：

一个系统是可逆的，如果可以通过系统的输出唯一地确定输入。即存在一个反系统，使得该系统对输出应用反系统后能恢复输入。

判断过程：

1. 假设系统有输出 y ( t ) y(t) y(t)，检查是否可以通过已知的 y ( t ) y(t) y(t)唯一地求解出对应的输入 x ( t ) x(t) x(t)。
2. 若存在这样的反向操作，则系统是可逆的。

示例：

考虑系统 y ( t ) = 3 x ( t ) y(t) = 3x(t) y(t)=3x(t)，

• 可以通过 x ( t ) = y ( t ) / 3 x(t) = y(t)/3 x(t)=y(t)/3唯一地确定输入，因此该系统是可逆的。

综合判断示例

假设我们有一个系统 y ( t ) = 3 x ( t − 1 ) + 2 y(t) = 3x(t-1) + 2 y(t)=3x(t−1)+2：

1. 线性性：系统中的常数 2 使得不满足齐次性，因此系统是非线性的。
2. 时不变性：输入延迟会导致 y ( t ) y(t) y(t)变化复杂，因此系统不是时不变的。
3. 因果性：系统输出 y ( t ) y(t) y(t)仅依赖于 x ( t − 1 ) x(t-1) x(t−1)，即依赖于过去的输入，因此是因果的。
4. 稳定性：若输入有界，输出依然有界，因此系统是稳定的。
5. 无记忆性：输出依赖于过去的输入 x ( t − 1 ) x(t-1) x(t−1)，因此系统有记忆。
6. 可逆性：由于存在常数项2，无法通过输出唯一地确定输入，因此系统不可逆。

通过这些步骤，我们可以逐一判断系统的性质，并得出结论。