题目描述

有 \(N\) 个参赛选手，将进行 \(N-1\) 场比赛，第 \(i,j\) 个选手进行比赛有 \(P_{i,j}\) 的激烈程度。每当选手 \(i\) 打败选手 \(j\) 时，\(P_{i,x}\leftarrow\max(P_{i,x},P_{j.x})\)。

在这些比赛中，编号小的选手总是打败编号大的选手。求最终 \(N-1\) 场比赛的激烈程度之和的最大值并给出方案。

思路

由于打败对手后激烈程度会取最大值，所以可以看作是两个集合 \(S_1,S_2\) 在打比赛，其激烈程度为 \(\min \limits_{x\in S_1,y\in S_2} \{P_{x,y}\}\)。

这实际上就是最小生成树。

但这道题要输出方案，也很好解决。两个集合 \(S_1,S_2\) 打比赛就是 \(\min \limits_{x\in S_1}\{x\},\min \limits_{x\in S_2}\{x\}\) 在打比赛。

空间复杂度 \(O(N^2)\)，时间复杂度 \(O(N^2 \log N^2)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MAXN = 1001;

struct Edge {
  int u, v, w;
}e[MAXN * MAXN], edge[MAXN];

int n, f[MAXN], sz[MAXN], Min[MAXN], tot;
ll ans;

int getfa(int u) {
  return (f[u] == u ? u : f[u] = getfa(f[u]));
}

void Merge(int u, int v) {
  u = getfa(u), v = getfa(v);
  if(u != v) {
    if(sz[u] > sz[v]) {
      swap(u, v);
    }
    f[u] = v, sz[v] += sz[u], Min[v] = min(Min[v], Min[u]);
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    sz[i] = 1, f[i] = Min[i] = i;
    for(int j = 1, w; j <= n; ++j) {
      cin >> w;
      e[(i - 1) * n + j] = {i, j, w};
    }
  }
  sort(e + 1, e + n * n + 1, [](const Edge &a, const Edge &b) {
    return a.w > b.w;
  });
  for(int i = 1; i <= n * n; ++i) {
    auto [u, v, w] = e[i];
    if(getfa(u) != getfa(v)) {
      ans += w;
      edge[++tot] = {Min[getfa(u)], Min[getfa(v)], w};
      Merge(u, v);
    }
  }
  cout << ans << "\n";
  for(int i = 1; i < n; ++i) {
    cout << edge[i].u << " " << edge[i].v << "\n";
  }
  return 0;
}