这个问题涉及对数和指数的性质。我们可以用数学公式来清晰地表达和证明这一等式。首先，我们有：
\[a^{\log_b(n)} \]我们想证明这等于：
\[n^{\log_b(a)} \]证明如下：
-
定义对数：
\[\log_b(n) = x \]意味着
\[b^x = n \] -
应用对数定义：
由定义，我们有
\[a^{\log_b(n)} = a^{x} \]和
\[n^{\log_b(a)} = n^{y} \]其中
\[y = \log_b(a) \] -
变换指数表达式：
由于
\[b^x = n \]和
\[b^y = a \]，我们可以将原式改写为：
\[a^{\log_b(n)} = (b^y)^{x} = b^{xy} \]同样地，
\[n^{\log_b(a)} = (b^x)^{y} = b^{xy} \] -
证明等价性：
因为
\[b^{xy} = b^{xy} \]，所以：
\[a^{\log_b(n)} = n^{\log_b(a)} \]
通过上述步骤，我们证明了以a为底，指数为
\[\log_b(n) \]确实等于以n为底，指数为
\[\log_b(a) \]。
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