C - 1111gal password
题目大意
给定正整数\(N\)，求符合下列条件的整数\(X\)的个数，对\(998244353\)取模：
- \(X\)是\(N\)位的正整数
- \(X\)的每一位数都在\([1,9]\)之间（0不行）；
- \(X\)的相邻两位数之差的绝对值不超过\(1\)。
\(2\le N\le 10^6\)
输入格式
\(N\)
输出格式
输出答案。
样例
| \(N\) | 输出 |
|---|---|
| \(4\) | \(203\) |
| \(2\) | \(25\) |
| \(1000000\) | \(248860093\) |
分析
根据乘法原理可得，符合条件的\(N\)位数最多有\(9^N\)个，显然不能暴力求解。
但是，由于每一位会被上一位所限制，所以我们很容易想到使用\(\text{DP}\)求解。
令\(f(i,j)=X\)的第\(i\)位上出现\(j\)的可能数，易得：
因此，直接输出\(\sum\limits_{i=1}^9f(n,i)\)即可。
代码
本代码运用了滚动表的优化，当然也可以直接开\(N\times9\)大小的数组，但这样会导致内存占用大，不建议使用。
#include <cstdio>
#define MOD 998244353
using namespace std;
inline void mod(int& x)
{
if(x >= MOD) x -= MOD;
}
int dp[9], ldp[9];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i=0; i<9; i++)
dp[i] = 1;
while(--n)
{
for(int i=0; i<9; i++)
ldp[i] = dp[i];
mod(dp[0] += dp[1]), mod(dp[8] += dp[7]);
for(int i=1; i<8; i++)
mod(dp[i] += ldp[i - 1]),
mod(dp[i] += ldp[i + 1]);
}
int ans = 0;
for(int i=0; i<9; i++)
mod(ans += dp[i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
D - ABC Transform
题目大意
给定由A、B、C组成的字符串\(S\)。令\(S_0=S\)，\(S_i=S_{i-1}\)将A、B、C分别替换为BC、CA、AB的新字符串。
回答\(Q\)个查询，第\(i\)个查询的问题如下：
- 求\(S_{t_i}\)的第\(k_i\)个字母。
\(1\le |S|\le 10^5\)
\(1\le Q\le 10^5\)
\(1\le t_i\le 10^{18}\)
\(1\le k_i\le min(10^{18},S_{t_i}\)的长度\()\)
输入格式
\(S\)
\(Q\)
\(t_1~k_1\)
\(\vdots\)
\(t_Q~k_Q\)
样例
样例输入1
ABC
4
0 1
1 1
1 3
1 6
样例输出1
A
B
C
B
- \(S_0=~\)
ABC - \(S_1=~\)
AABCB
样例输入2
CBBAACCCCC
5
57530144230160008 659279164847814847
29622990657296329 861239705300265164
509705228051901259 994708708957785197
176678501072691541 655134104344481648
827291290937314275 407121144297426665
样例输出2
A
A
C
A
A
注意小心整数溢出问题。
分析
令\(f(t,k)=(S_0\)为AAA..时\(S_t\)的第\(k\)个字母，其中A、B、C分别对应\(0,1,2\)且\(k\)从\(0\)开始\()\)，则通过找规律可得：
其中\(g(c,x)\)为字符\(c\)在A,B,C,A,...这个环中\(c\)后面的第\(x\)个字符，即\(g(c,x)=(c+x)\bmod3\)。
因此，我们只要求出\(x\)在\(S\)的哪个字符分解后的结果中，再计算\(f\)即可。
答案为\(\mathrm{ans}=g(f(t,(k-1)\bmod2^t),S_{\lfloor\frac {k-1}{2t}\rfloor})\)。
代码
以下两种示范代码均使用非递归形式，当然也可使用递归形式。
代码1（标准）
#include <cstdio>
using namespace std;
char s[100005];
int main()
{
scanf("%s", s);
int q;
scanf("%d", &q);
while(q--)
{
long long t, k;
scanf("%lld%lld", &t, &k);
k --;
int x = s[t < 64? k >> t: 0] - 'A'; // 防止t太大导致RE
while(t > 0 && k > 0)
{
x = (x + int(k & 1LL) + 1) % 3;
k >>= 1LL, t --;
}
putchar((t + x) % 3 + 'A');
putchar('\n');
}
return 0;
}
代码2（优化）
#include <cstdio>
using namespace std;
char s[100005];
int main()
{
scanf("%s", s);
int q;
scanf("%d", &q);
while(q--)
{
long long t, k;
scanf("%lld%lld", &t, &k);
k --;
int c = 0;
if(t < 64)
{
c = s[k >> t] - 'A';
k &= (1LL << t) - 1LL;
}
else c = s[0] - 'A';
for(c+=t%3; k>0; k&=k-1) c ++;
putchar(c % 3 + 'A');
putchar('\n');
}
return 0;
}
E - (∀x∀)
题目大意
对于\(T\)个测试点，分别解决下列问题：
给定整数\(N\)和字符串\(S\)，求合法字符串\(X\)的个数，使其符合下列条件：
- \(|X|=N\)
- \(X\)由大写英文字母组成，是一个回文串
- 按字典序，\(X\le S\)
\(1\le T\le 250000\)
\(1\le N\le 10^6\)
\(1\le \sum N\le 10^6\)
\(|S|=N\)且由大写英文字母组成。
分析
显然，通过\(X\)的前\(\lceil\frac N2\rceil\)个字符就可以确定唯一的\(X\)。下面，我们以ABCDE为例：
ABCDE的前\(\lceil\frac N2\rceil\)个字符分别为ABC- 字典序小于
ABC的字符串有\(28\)个（可看作一个\(26\)进制数来计算） - 判断
ABCBA是否可行，与ABCDE比较 - 可行，答案增加\(1\)得到\(29\)
因此，我们输出\(29\)。其他情况类似。
代码
#include <cstdio>
#define maxn 1000005
#define MOD 998244353
using namespace std;
using LL = long long;
char s[maxn];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
int n;
scanf("%d%s", &n, s);
long long x = 0LL;
int j = n - 1 >> 1;
for(int i=0; i<=j; i++)
(x = x * 26LL + s[i] - 'A') %= MOD;
bool ok = true;
while(j >= 0)
{
if(s[j] < s[n - 1 - j]) break;
if(s[j] > s[n - 1 - j]) { ok = false; break;}
j --;
}
if(ok && ++x == MOD) x -= MOD;
printf("%lld\n", x);
}
return 0;
}