复变函数复习笔记
by wysng
第一章 复数
复数的来源:
\[i^2=-1,i=\sqrt{-1} \]定义：称有序实数对\((x,y)\)所确定的数\(z=x+iy\)为复数，其中\(x\)称为\(z\)的实部，记作\(x=Rez\)，\(y\)称为\(z\)的虚部，记作\(y=Imz\)。
复数相等即意味着两个复数的实部和虚部分别相等。复数的加减法也与实数类似，只是两个复数的和的实部等于两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部等于两个复数的虚部的和而已，这里不再进行赘述。一个复数的共轭是指其实部不变，虚部取相反数的复数，例如\(z=x+iy\)与\(\bar{z}=x-iy\)互为共轭复数，由于复数的四则运算与实数的四则运算类似，我们可以轻松得到以下结论：
\[z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2 \]我们把\(\sqrt{x^2+y^2}\)定义为\(\vert{z}\vert\)，称为\(z\)的模，显然我们可以得到\(z\bar{z}=\vert{z}\vert^2\)
令\(z_1=x_1+iy_1\)，\(z_2=x_2+iy_2\)，有\(z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)\)可以看到在这里复数的运算是和实数的运算相类似的。
关于复数的除法，其本身只是乘法的逆运算而已，我们可以这样来看，当\(z_2\neq0\)时\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}=\frac{(x_!+iy_1)(x_2-iy_2)}{\vert{z_2}\vert^2}\)，我们把这一步操作叫做分母实数化，可以看到，此时分母已经变为了\(\vert{z_2}\vert^2\)，是一个完完全全的实数了。
三角不等式关系：\(\vert{Rez}\vert\leqslant\vert{z}\vert\)，\(\vert{Imz}\vert\leqslant\vert{z}\vert\)，\(\vert{z}\vert\leqslant\vert{Rez}\vert+\vert{Imz}\vert\)
对于复数的共轭，我们还可以有许多其他结论，比如对于\(z=x+iy\)，\(z+\bar{z}=2x=2Rez\)，\(z-\bar{z}=2iy=2iImz\)，于是我们可以将实数表示为复数如下：
\[x=Rez=\frac{z+\bar{z}}{2}，y=Imz=\frac{z-\bar{z}}{2i} \]这对于以后我们用复数表示实数是十分重要的！！
其他的一些性质：$$\overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}，\overline{z_1-z_2}=\bar{z_1}-\bar{z_2}$$