证明：非完全平方数的平方根是无理数

非完全平方数的平方根是无理数

定义

• 完全平方数：一个整数的平方，如 1 , 4 , 9 , 16 1, 4, 9, 16 1,4,9,16 等。
• 非完全平方数：不是任何整数平方的正整数，如 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 2,3,5,6,7,8,10 等。

命题

设 n n n 是一个正整数，如果 n n n 不是完全平方数，那么 n \sqrt{n} n ​ 是无理数。

证明

我们可以通过反证法来证明这一命题。

反证法

假设 n \sqrt{n} n ​ 是有理数，那么我们可以把它表示为两个互质整数 p p p 和 q q q 的比值，即：

n = p q \sqrt{n} = \frac{p}{q} n ​=qp​

其中， p p p 和 q q q 互质，且 q ≠ 0 q \neq 0 q=0。

两边平方，得到：

n = p 2 q 2 n = \frac{p^2}{q^2} n=q2p2​

即：

n × q 2 = p 2 n \times q^2 = p^2 n×q2=p2

这表明 p 2 p^2 p2 是 n × q 2 n \times q^2 n×q2 的整数倍。

注意到 n n n 不是完全平方数，因此 n n n 的质因数中至少有一个质因数的幂次是奇数。而 p 2 p^2 p2 是完全平方数，所以 p 2 p^2 p2 的所有质因数的幂次都是偶数。因此， p 2 p^2 p2 和 n × q 2 n \times q^2 n×q2 的质因数的幂次不可能匹配。这就导致 n × q 2 n \times q^2 n×q2 不是一个完全平方数，与 p 2 p^2 p2 是完全平方数的事实矛盾。

因此，假设 n \sqrt{n} n ​ 是有理数的前提是错误的。由此我们得出结论：非完全平方数的平方根是无理数。

结论

这个证明的方法展示了非完全平方数的平方根必定是无理数，因为如果它是有理数，会导致数论上的矛盾。