复数、单位复数、单位复数与原根联系

1.复数

1.1 复数的引入和定义

1.1.1 略谈数集扩充

略了很多字。

在数学在现实应用领域的发展过程中，我们常需要解类似的方程： \(x^2 + a = 0\) ，然而这在实数集下无解。

1.1.2 虚数单位于的引入与复数的定义

于是虚数单位 "i"被引入，并且有 \(i^2 = -1\) 。

让复数表示为实数与虚数的符合形式，如 \(a + bi\ a,b \in R\) ，让新集“复数集”表示为 C 。

定义复数相等：\(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\) ，\(z_1 = z_2 \Leftrightarrow a = c, b = d\) 。

令 \(\cdot\) 表示为复数的四则运算加减乘除，则 \((G, \cdot)\) 会是一个阿贝尔群。于是类似 \(x^2 + a = 0\) 可以有复数解 \(a i^2\) 。自然而然，复数集便可被扩充。

1. 复数通常可以用代数形式表示：\(z = a + bi\) ，其中 \(a\) 为 \(z\) 的实部，读作 \(a\) 是 \(z\) 的 \(real\ part\) ，写作 \(Re(z) = a\) ；\(b\) 为 \(z\) 的虚部，读作 \(b\) 是 \(z\) 的 \(Imaginary\ part\) ，写作 \(Im(z) = b\) 。

2. 一种复数的常见形式为三角形式：\(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\ s.t.\ r \in R\) 。\(r\) 为复数的模 \(|z|\) ，\(\theta\) 为辐角 \(Arg\ z\) ，\((\cos \theta, \sin \theta)\) 为直角坐标。

3. 另一种复数的常见形式为指数形式：\(z = r \exp(i \theta) = r e^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 。最后一步变换为欧拉公式： \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) ，后文会提到。

1.1.3 虚数的引入

定义虚数集，它与实数集划分复数集。

在复数的代数形式 \(z = a + bi\) 下：

1. 若 \(b = 0\) ， \(z\) 是实数。
2. 若 \(b \neq 0\) ，\(z\) 是虚数。
   • 特别的，若 \(b \neq 0\) 且 \(a = 0\) ，\(z\) 是纯虚数。纯虚数集真包含于虚数集。

1.2 复数的性质与四则运算

1.2.1 复数的几何意义

考虑一根无限长的一维的数轴，定义实数单位 \(1\) 为水平正方向，显然“所有实数”与数轴上的“坐标”形成双射。

选取一条无限长的数轴过 \(0\) 垂直于原数轴，定义虚数单位 \(i\) 为竖直正方向，得到一个二维空间。

对于复数的代数形式 \(z = a + bi\) ，显然“所有 \((a, b)\)” 与二维空间的“平面直角坐标”形成双射。

对于复数的三角形式 \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) ，显然“所有 \(r(\cos \theta, \sin \theta)\)” 与二维空间的“三角坐标”形成双射。

二维空间的点可以看作向量，比如复数 \(z\) 可以看作向量 \(\vec{OZ}\) 。显然地，复数可以相等，但不能比较大小。

所有向量的起点移动到原点即得到一个坐标系。

1.2.2 复数的加法与减法

定义复数加法：\(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\) 。则 \(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\) 。

1. 封闭性：若 \(z_1, z_2 \in C\) ，则 \(z_3 = z_1 + z_2 \in C\) 。
   证明： \(z_3 = z_1 + z_2 = ac + bdi\) ，显然 \(z_3\) 能表现为复数的代数形式，即 \(z_3 \in C\) 。\(\square\)
2. 结合律：若 \(z_1, z_2, z_3 \in C\) ，则 \((z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)\) 。
   证明： \((a + c) + (b + d)i + e + fi = a + bi + (c + e) + (d + f)i = (a + c + e) + (b + e + f)i\) 。\(\square\)
3. 单位元： \(C\) 中有且仅有一个 \(e\) 满足 \(e + z = z + e = z\) ，则 \(e\) 是 \(G\) 的单位元。
   证明： 显然有且仅有 \(e = 0\) 。\(\square\)
4. 逆元：\(\forall a \in C\) ，都有且仅有一个 \(b\) 满足 \(a + b = b + a = e\) ，则 \(b\) 是 \(a\) 的逆元。
   证明： 显然对于任意 \(a\) ，有且仅有 \(b = -a\) 。\(\square\)
5. 交换律：若 \(z_1, z_2 \in C\) ，则 \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\) 。
   证明： \(a + bi + c + di = c + di + a + bi = (a + c) + (b + d)i\) 。\(\square\)

由 \(1, 2, 3, 4\) ， \((C, +)\) 是个群。再由 \(5\) ，\((C, +)\) 是个阿贝尔群。

减法是加法的逆运算，如 \((z_1 + z_2) - z_2 = z_1\) 。于是 \((C, -)\) 是个阿贝尔群。

1.2.3 复数的乘法与除法

定义复数乘法：\(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\) ，则 \(z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\) 。(显然复数乘法在几何意义上与向量点积和叉积无关。)

1. 封闭性：若 \(z_1, z_2 \in C\) ，则 \(z_1 z_2 \in C\) 。
   证明： 令 \(z_1 = a + bi, z_2 = c + di, z_3 = z_1 z_2\) ，则 \(z_3 = z_1 z_2 = (a + bi)(c + di)\) ，继续展开得到 \(z_3 = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd)(ad + bc)i\) ，显然 \(z_3\) 能表现成复数的代数形式，即 \(z_3 \in C\) 。\(\square\)
2. 结合律：若 \(z_1, z_2, z_3 \in C\) ，则 \((z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)\) 。
   证明： \(((a + bi)(c + di))(e + fi) = (a + bi)((c + di)(e + fi))\) 是直观显然的。\(\square\)
3. 单位元：\(C\) 中有且仅有一个 \(e\) 满足 \(e z = z e = z\) ，则 \(e\) 是 \(G\) 的单位元。
   证明： 显然 \(C\) 中有且仅有 \(e = 1\) 。\(\square\)
4. 逆元：\(\forall a \in C\) ，都有 \(a b = b a = e\) ，则 \(b\) 是 \(a\) 的逆元。
   证明： 观察 \((a + bi)(x + yi) = 1\) ，当且仅当 \(a + bi \neq 0\) 时有解。 \(\square\)
5. 交换律：若 \(z_1, z_2 \in C\) ，则 \(z_1 z_2 \in C\) 。
   证明： \((a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)\) 是直观显然的。\(\square\)

由 \(1, 2, 3, 4\) ，\((C \backslash \{0\}, \times)\) 是个群。再由 \(5\) ，\((C \backslash \{0\}, \times)\) 是个阿贝尔群。

除法是乘法的逆运算，于是 \((C \backslash \{0\}, /)\) 是个阿贝尔群。

1.2.4 辐角

1.2.4.1 复平面

在几何意义中已经对复数二维空间的方向进行过一个定义，实数单位 \(1\) 为水平正方向，虚数单位 \(i\) 为竖直正方向。

现在可以补充说明，将所有复数向量的起点移动到原点后，这个复数二维空间即复平面。

1.2.4.2 辐角和辐角主值

一个复数 \(z = a + bi\) 可以表示出坐标 \((a, b)\) 。定义 \(Arg\ z\) 为 \(z\) 的辐角，有 \(\tan (Arg\ z) = \frac{b}{a}\) 。

定义 \(z\) 的 辐角主值或主辐角 为 \(arg\ z\) ，有 \(-\pi < arg\ z \leq \pi\) 。

需要注意，辐角不值某个角，而是指一个集合。 \(Arg\ z = \{ arg\ z + 2 k \pi \mid k \in Z \}\) 。

1.2.4.3 单位圆

1. 所有模小于等于 \(1\) 的复数在复平面上构成单位圆。
2. 模为 \(1\) 的复数为单位复数。所有单位复数构成构成单位圆周。

1.2.4.4 极坐标

在极坐标的视角下表示复数坐标，则 \((a, b) = (r, \theta)\) 。其中 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}, \theta = Arg\ z\) 。

借助极坐标，复数乘法和除法的几何意义非常好理解。

1. 乘法：\(z_1 z_2 = (r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)\) ，即模相乘，辐角相加。
2. 除法：乘法的逆运算，\(z_1 / z_2 = (r_1 / r_2, \theta_1 - \theta_2)\) ，即模相除，辐角相减。

1.2.5 共轭复数

共轭复数，即模相等，辐角相反的的两个复数（角相反：即角的绝对值相等，符号相反）。几何意义上关于实轴对称。\(z = a + bi\) 的共轭复数写作 \(\bar{z} = a - bi\) 。

共轭复数是一种应用数学领域中常见的复数，具有以下性质。

1. \(z \bar{z} = |z|^2\) 。
   代数证明： \((a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2\) 。\(\square\)
   极坐标证明： \((r, \theta) (r, -\theta) = (r^2, 0) = r^2\) 。\(\square\)
2. \(\bar{\bar{z}} = z\) 。
   代数证明： \(a + (-(-b))i = a + bi\) 。\(\square\)
   极坐标证明： \((r, -(-\theta)) = (r, \theta)\) 。\(\square\)
3. \(\overline{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}\) 。
   证明： \(\overline{z + w} = \overline{(a + bi) + (c + di)} = \overline{(a + c) + (b + d)i} = (a + c) - (b + d)i\) ，\(\bar{z} + \bar{w} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i\) 。于是 \(\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}\)。减法是加法逆运算。 \(\square\)
4. \(\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}\) 。
   代数证明： \(\overline{z 2} = \overline{(a + bi)(c + di)} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i\) 。\(\bar{z} \bar{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) + (a(-d) + (-b)c)i = (ac - bd) - (ad + bc)i\) 。于是 \(\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}\) 。除法是乘法的逆运算。\(\square\)
   极坐标证明： \(\overline{z w} = \overline{(r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)} = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))\) 。\(\bar{z} \bar{w} = (r_1, -\theta_1)(r_2, \theta_2) = (r_1 r_2, -(\theta_1 + \theta_2))\) 。于是 \(\overline{z w} = \bar{z} \bar{w}\) 。除法是乘法的逆运算。\(\square\)

1.3 欧拉公式、复指数函数、复三角函数

1.3.1 欧拉公式

以欧拉命名的常见公式不止一个，这里指的是最出名的欧拉公式。
欧拉公式是欧拉创造的，被誉为“最美丽的数学公式”的公式，它将实数、虚数、三角函数联系到了一起，是一个数集的桥梁，在后世中应用广泛。
欧拉公式： \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) 。
不严谨的说明：
已知泰勒展开为：
$$
f(x) \to \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} x^{i}
$$
先确定三个函数的 \(Taylor\) 展开式，已知（首先很经典，其次课本上说的）它们的展开式是收敛的：
1. \(e^x = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!} x^i + o(x^{n})\) 。
2. \(\cos x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i + 2} \frac{1}{(2i)!} x^{2i} + o(x^{2n})\) 。
3. \(\sin x = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{2i} \frac{1}{(2i + 1)!} x^{2i + 1} + o(x^{2n + 1})\) 。
由
\(e^{ix} = \frac{x^0}{0!} + i\frac{x^1}{1!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^{6}}{6!} - i\frac{x^7}{7!} \cdots\)
\(\cos x = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\)
\(i \sin x = i \frac{1}{1!} - i\frac{x^3}{3!} + i\frac{x^5}{5!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots\)
可以发现 \(\cos x + i \sin x = 1 + i\frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots = e^{ix}\) 。
\(\square\)

特殊的，有 \(e^{\pi i} = -1\) 。 这个恒等式较为常用。
证明： \(e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \times 0 = -1\) 。\(\square\)

1.3.2 复指数函数

复指数函数在实数集上的定义与实指数函数的定义一致。
对于复数 \(z = x + iy\) ，定义函数 \(\exp z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)\) 。
复数函数在复平面上的性质：

1. 模横正：\(|\exp z| > 0\) 。
   证明： \(|\exp z| = |e^x(\cos y + i \sin y)| = e^x > 0\) 。\(\square\)
2. 辐角主值：\(arg\ \exp z = y\) 。
   证明： \(\frac{e^x \sin y}{e^x \cos y} = \tan y\) ，于是 \(arg\ \exp z = y\) 。\(\square\)
3. 加法定理：\(\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)\) 。
   代数证明：
   令 \(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\) ，有
   \[\begin{aligned} \exp(a + c + (b + d)i) &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i \sin (b + d)) \\ \exp(a + bi) \exp(c + di) &= e^{a}(\cos b + i\sin b) e^{c}(\cos d + i\sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d + i \cos b \sin d + i \sin b \cos d + i^2 \sin b \sin d) \\ &= e^{a + c}(\cos b \cos d - \sin b \sin d) + i(\cos b \sin d + \sin b \cos d) \\ &= e^{a + c}(\cos (b + d) + i\sin (b + d)) \\ \textbf{于是} \\ \exp(z_1 + z_2) &= \exp(z_1) \exp(z_2) \quad \square \end{aligned} \]
   极坐标证明：
   \[\begin{aligned} \exp z_1 \exp z_2 &= e^{a + b}(\cos b + i \sin b)(\cos d + i \sin d) \\ &= e^{a + b}(1, b)(1, d) \\ &= e^{a + b}(1, b + d) \\ &= e^{a + b}(\cos (c + d) + i\sin(c + d)) \\ &= \exp(z_1 + z_2) \quad \square \end{aligned} \]

4. 周期性：\(\exp z\) 是以 \(2 \pi i\) 为基本周期的周期函数。
   证明： \(\exp (z + 2 \pi i) = \exp(z) \exp(\pi i) \exp(\pi i) = \exp(z)\) 。\(\square\)

1.3.3 复三角函数

复三角函数在实数集上的定义与实三角函数的定义一致。
然而复三角函数在算法竞赛领域似乎未曾见过应用，暂时只给出复余弦函数与复正弦函数的定义和几个常见性质。

1. \(\cos z = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2}\) 。
   显然 \(\frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} = \frac{\cos z + i \sin z + \cos (-z) + i \sin (-z)}{2} = \cos z\) 。
2. \(\sin z = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2 i}\) 。
   显然 \(\frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} = \frac{\cos z + i \sin z - \cos (-z) - i\sin (-z)}{2i} = \sin z\) 。
3. 特殊的，若 \(z \in R\) ，则：
   1. \(\cos z = Re(\exp (iz))\) 。
   2. \(\sin z = Im(\exp (iz))\) 。
      显然 \(\exp (iz) = \cos z + i \sin z\) 。

复三角函数在复平面上的几个性质：

1. 奇偶性：
   1. \(\cos z\) 是复平面上的偶函数。
      证明： \(\cos z - \cos (-z) = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2} - \frac{\exp(-iz) + \exp(iz)}{2} = 0\) 。\(\square\)
   2. \(\sin z\) 是复平面上的积函数。
      证明： \(\sin z + \sin (-z) = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i} + \frac{\exp(-iz) - \exp(iz)}{2i} = 0\) 。\(\square\)
2. 周期性：\(\cos z\) 和 \(\sin z\) 在复平面上的基本周期为 \(2 \pi\) 。
   证明： \(\exp(w + 2 \pi) = \exp(w) \exp(2 \pi) = \exp(w)\) 。\(\square\)
3. 值域：不同于实余弦函数与实正弦函数值域为 \([-1, 1]\) ，复余弦函数与复正弦函数的值域为 \(C \backslash \{0\}\) 。
   证明： 令 \(z = a + bi\ s.t. a,b \in R\) ，记 \(u = \exp(-b + ai) = e^{-b}(\cos a + i \sin a) \in C \backslash \{0\}\) 。显然 \(\cos z = \frac{1}{2}(u + \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}\) 。显然 \(\sin z = \frac{1}{2i} (u - \frac{1}{u}) \in C \backslash \{0\}\) 。\(\square\)
4. 三角恒等式：实际上基本符合实三角恒等式，暂时只给出常见的 \(\cos^2 z + \sin^2 z = 1\) 证明。
   证明： 有复数的几何意义与勾股定理则显然。\(\square\)

1.4 单位根

复数意义下的解叫做复根。
称 \(x^n = 1\) 的解叫做 \(n\) 次单位复根或 \(n\) 次单位根。

可以断言 \(n\) 次单位复根有且仅有 \(n\) 个，且是从 \(1\) 开始将等分单位元的 \(n\) 个复数。
证明： 由欧拉公式 \(e^{2 \pi i} = 1\) ，两边做 \(k\) 次幂有 \(e^{2k \pi i} = 1\) ，再取 \(n\) 次根 \(\sqrt[n]{1} = e^{2 \frac{1}{n} k \pi i} = \cos 2 \frac{1}{n} k \pi + i \sin 2 \frac{1}{n} k \pi\) 。由于 \(2 \pi\) 是一个周期，于是一个周期内的解集为 \(k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1\}\) 。\(\square\)

设 \(w_{n}^{0} = w_{n}^{n} = 1\) ，逆时针依次为 \(w_{n}^{0}, w_{n}^{1}, w_{n}^{2}, \cdots, w_{n}^{n - 1}\) 。其中 \(w_{n}^{1}\) 通常直接被写作 \(w_n\) 。

\(w_1 = 1\) 是平凡的，不存在扩展性质。

\(n \geq 2\) 时具有性质：

1. 互异性：\(\forall 0 \leq i < n,j\ s.t. i \neq j\) 有 \(w_n^{i} \neq w_{n}^j\) 。
   证明： 复数乘法，考虑极坐标系下， \(w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})\) 在 \(k = \{0, 1, 2, \cdots, n - 1 \}\) 互不相同。\(\square\)
2. 加法定理：\(w_{n}^{a + b} = w_{n}^{a} w_{n}^{b}\) 。
   证明： 极坐标系下 \(w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n})\) 。于是 \(w_{n}^{a + b} = (1, (a + b) \frac{2 \pi}{n}) = (1, a \frac{2 \pi}{n}) (1, b \frac{2 \pi}{n}) = w_{n}^{a} w_{n}^{b}\) 。\(\square\)
3. 可除公约数性： \(w_{ln}^{lk} = w_{n}^{k}\) 。
   证明： 设极坐标系下 \(w_{n}^{k} = (1, k \frac{2 \pi}{n}), w_{ln}^{lk} = (1, lk \frac{2 \pi}{nl})\) 。显然 \((1, lk \frac{2 \pi}{nl} = (1, k \frac{2 \pi}{n}))\) 即 \(w_{n}^{k} = w_{ln}^{lk}\) 。\(\square\)
   特殊的，\(w_{2n}^{2k} = w_{n}^{k}\) ，又叫折半性。
4. 周期性：\(w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k}\) 。
   证明： \(w_{n}^{k + n} = w_{n}^{k} w_{n}^{n} = w_{n}^{k}\) 。\(\square\)
5. 对称性：\(w_{2n}^{k + n} = -w_{2n}^{k}\) 。
   证明： 显然地 \(w_{2n}^{n} = -1\) ， \(w_{2n}^{k + n} = w_{2n}^{k} w_{2n}^{n} = -w_{2n}^{k}\) 。\(\square\)
6. 一定性：\(\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0\) 。
   证明： 由对称性 \(w_{n}^{k} + w_{n}^{k + n/2} = 0\) ，\(\sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{k} = 0\) 。\(\square\)
7. 逆元存在：\(\frac{1}{w_{n}^{k}}\) 存在。
   证明： \(\frac{1}{w_{n}^{k}} = e^{- \theta i} = (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta)) = (\cos \theta - i \sin \theta)\) ， \(w_{n}^{k} = e^{\theta i} = (\cos \theta + i \sin \theta)\) ，于是 \(\frac{1}{w_{n}^{k}} = \overline{w_{n}^{k}}\) 。其中 \(\theta = Arg\ w_{n}^{k} = \frac{2 k \pi}{n}\) 。

1.5 C++ 中的复数类

不同于 C 中需要调用头文件，C++ 中直接有 \(complex\) 标准类。

1. \(complex\) 类需要定义变量类型为 \(complex<float>\) 或 \(complex<double>\) 或 \(complex<long\ double>\) 。
2. 一个 \(complex\) 类可以初始化变量 \(complex<T> z(cos(Arg), sin(Arg))\) 。\(Arg\) 是 \(double\) 类型的辐角。
3. 一个 \(complex\) 类有成员函数 \(real\) 和 \(imag\) ，可以访问实部和虚部。
4. 一个 \(complex\) 类有常见的非成员函数 \(real\) 、\(imag\) 、\(abs\) 、\(arg\) ，返回复数的实部、虚部、模长、辐角。