题意
给定 \(S \in \{ (, ), ? \}\)。
定义深度为括号嵌套的子序列的最大长度除以 \(2\)。
求出将 \(?\) 替换为括号的所有括号串的深度之和,对 \(998244353\) 取模。
\(n \le 10 ^ 6\)。
Sol
考虑如何把每次贡献只计算一次。
不难想到在括号的中心点计算。
可以发现,若当前左右括号的数量不同,可以向左或向右移动到相同的位置。
若中间遇到了右括号,则深度会增大,显然之前的就不是最优的位置了。
设 \(A\) 为前面的 (
的数量,\(B\) 为后面 )
的数量。
\(C\) 为前面的 ?
的数量,\(D\) 为后面 ?
的数量。
不难列出 \(n ^ 2\) 的式子(令 \(A > B\)):
\[\sum_{j = 0} ^ C \dbinom{C}{j} \dbinom{D}{j + A - B} (j + A) \]将括号拆开:
\[A \sum_{j = 0} ^ C \dbinom{C}{C - j} \dbinom{D}{j + A - B} + \sum_{j = 0} ^ C j \dbinom{C}{C - j} \dbinom{D}{j + A - B} \]前面直接范德蒙德卷积/组合意义,对于后面:
\[\sum_{j = 0} ^ C j\frac{C!}{j!(C - j)!} \frac{D!}{(j + A - B)!(D - j + B - A)!} \]把 \(j\) 扔进去,提一个 \(C\) 出来。
\[C \sum_{j = 0} ^ C \frac{(C - 1)!}{(j - 1)!(C - j)!} \frac{D!}{(j + A - B)!(D - j + B - A)!} \]\[C \sum_{j = 0} ^ C \dbinom{C - 1}{C - j} \dbinom{D}{j + A - B} \]类似地,范德蒙德卷积/组合意义。
最终答案为:
\[A \dbinom{C + D}{C + A - B} + C \dbinom{C - 1 + 1}{A - B + C} \]直接 \(O(n)\) 计算即可。
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