对于一个可重集 \(S\)，称它为“等差集合”当且仅当其中元素从小到大排列后构成等差数列。定义 \(S\) 的“优美度”为其子集中最大的“等差集合”的大小。现在有四个数 \(a,b,c,d\) 在 \(\{x\in \N^{\ast}\mid x\le 10\}\) 中等概率取值，求可重集 \(\{a,b,c,d\}\) 的“优美度”的期望。
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设这个集合的“优美度”为随机变量 \(X\)。显见 \(X\in\{2,3,4\}\)。
如果 \(X=4\)，有两种情况：
- 若 \(a=b=c=d\)，有 \(10\) 种方案。
- 若 \(a,b,c,d\) 以某种顺序构成等差数列。按公差分类，有 \(7+4+1=12\) 种本质不同的数列，总的方案数就是 \(12\times 4!=288\)。
共计 \(10+288=298\) 种。
如果 \(X=3\) 这个事件发生，有两种情况：
-
\(a,b,c,d\) 中恰有三个数相等。有 \(10\times C_{4}^3\times 9=360\) 种。
-
最多可以找到一个长为 \(3\) 且公差非零的等差数列。本质不同的等差数列有 \(8+6+4+2=20\) 种，可能的 \(a,b,c,d\) 就有 \(20\times A_{4}^3\times 10=4800\) 种。其中有多算的部分（不妨设 \(a\lt b\lt c,b-a=c-b\)）：
- 若 \(d-c=b-a\) 或 \(a-d=c-b\)，即四个数构成等差数列，这类的方案数等于在 \(X\ge 4\) 中的第二类情况，共 \(288\) 种，这部分多算了两次；
- 若 \(d\in\{a,b,c\}\)，数目为 \(20\times A_{4}^{3}\times 3\times \frac12=720\)，这部分多算了一次；
- 若 \(c-d=d-b\) 或 \(b-d=d-a\)，每个公差为偶数的等差数列对应两种这类情况，数目为 \((6+2)\times A_{4}^3\times 2=384\)，这部分多算了一次。
这三类都恰好被额外算了一次，于是这种情况的数目为 \(4800-2\times 288-720-384=3120\)。
共计 \(360+3120=3480\)。
答案为 \(\frac{1}{10^4}(2\times (10000-3480-298)+3\times 3480+4\times 298)=2+\frac{3480+2\times 298}{10000}=\frac{24076}{10000}=\frac{6019}{2500}\)。