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一、做题心得
今天开始动态规划章节的第一部分。打卡的题目都比较基础，也比较经典，刚好作为入门。在最后一道题上，会详细讲讲代码随想录中卡哥的动规五步走，的确是很好的做题思路，将代码的每一步都具象化。
话不多说，直接开始今天的内容。
二、动规五步走
代码随想录中解决动态规划的五个步骤：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
对于简单的题，可以直接解答；复杂一点的，按照这五步走，可以使思路更加清晰。
三、题目与题解
题目一：509. 斐波那契数
题目链接
斐波那契数 （通常用
F(n)表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1给定
n，请计算F(n)。示例 1：
输入：n = 2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1示例 2：
输入：n = 3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2示例 3：
输入：n = 4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3提示：
0 <= n <= 30
题解1：记忆性递归
为什么不直接用递归呢？很显然，直接递归的时间复杂度太高，为了解决这个问题，我们采用数组存储每个已经出现的数值，这样就不需要每次都递归重新计算。
class Solution {
public:
int fib(int n) {
int dp[32]; //题目中 n <= 30, 可以直接一般数组；如果是处理任意大小的n，一般采用vector数组
dp[0] = 0, dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};题解2：动态规划
思路：由于 dp 列表第 i 项只与第 i−1 和第 i−2 项有关，因此只需要选取三个整形变量 sum, dp[0], dp[1]分别代表这三个位置（注意三者的初始化），利用辅助变量 sum 使 dp[0], dp[1] 两数字交替前进即可。
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n <= 1) return n; //n <= 1时
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1]; //sum作为中间辅助变量：记录第 i 项
dp[0] = dp[1]; //dp[0]：记录 i - 2项
dp[1] = sum; //dp[1]：记录 i - 1项 （每次循环完成时，记录第 i 项）
}
return dp[1]; //n >= 2时
}
};题目二：70. 爬楼梯
题目链接
假设你正在爬楼梯。需要
n阶你才能到达楼顶。每次你可以爬
1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶示例 2：
输入：n = 3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶提示：
1 <= n <= 45
题解：动态规划
其实这道题和斐波那契数列那道题思路是一样的，只是值的初始化不同，这里我只给出动态规划的解法。
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n; //n <= 2时
vector<int> dp(n+1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2]; //n >= 3时
}
};题目三：746. 使用最小花费爬楼梯
题目链接
给你一个整数数组
cost，其中cost[i]是从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为
0或下标为1的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例 1：
输入：cost = [10,15,20] 输出：15 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。 - 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 15 。示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1] 输出：6 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 6 。提示：
2 <= cost.length <= 10000 <= cost[i] <= 999
题解：动态规划
今天主要想说的就是这道题。
这里我们按照动规五步走：
1.定义dp[i]数组--注意dp[i]表示到达第i台阶所花费的最少费用为dp[i]
2.确定递推公式：
得到dp[i]有两种方式（前一个台阶处爬一步，前两个台阶处爬两步）：
(1) dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1];
(2) dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2];
选择花费最小的，故递推公式：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
3.dp数组初始化：题目要求可以从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，即dp[0] = 0, dp[1] = 0
4.确定遍历顺序：楼梯，台阶这一类问题一般都是直接从前往后遍历
5.举例推导dp数组：列举几个数，看看满不满足
代码如下：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int n = cost.size(); //楼梯顶部的位置：最后一个阶梯之外
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[n];
}
};三、小结
今天的打卡到此也就结束了，动态规划的旅途还很漫长，后边也会继续努力。
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