一.为什么旋转矩阵要等于1？
旋转概念：“旋转”就是一种没有拉伸或压缩的变换，|A|就只能是±1中的一个了。
成为旋转矩阵的条件：正常情况下，求的旋转矩阵是不会出现-1这种情况的。det®=-1则表明R无效。
解释：一个矩阵要能成为一个旋转矩阵，则它在构造上必定是正交矩阵，同时还是矩阵的每个列向量的模长都为一个正交的单位矩阵，它的行列式就必定是1了。这也就是说，只有正交的单位矩阵才能对向量只做旋转，而无伸缩和翻面(改变手性)。
那么，为啥单位正交矩阵的行列式就等于1了呢？
答案是1.因为矩阵的列向量都是模长为1的向量，2.因为列向量都正交(相互垂直)。以二阶矩阵为例：如果一个两个单位向量，正交，则以它们为边就可以构成一个“正方形”，这个正方形的面积为1。而在对二维矩阵，它行列式在数值上就等于两个列向量围成的“平心四边形”的面积，有单位正交矩阵里的列向量围成的这个平行四边形是一个正方形，面积就为1了。若是三阶矩阵，若三个列向量也都是单位正交的，就等于在面积上又多了一个长度为1的。高度。而三阶矩阵的行列式在数值上就等于这个单位立方体的体积。但是，一个旋转矩阵的列向量不是单位向量，但模长都是1。它们围成的面积或体积可以看成是原单位正交矩阵的行列式对应的那个面积或体积旋转了一个角度，但面积和体积都没有变。
这里要明白，须知两件：一件事是矩阵的行列式是啥玩意，第二，一个旋转矩阵的列向量只能是模长为1的，且列向量相互正交。
二.矩阵的行列式意义
行列式又被称为缩放因子，其值处在-∞＜-1≤0≤1＜∞这几个区间内。对于y=Ax，|A|值±的意义在于决定y与x的角度关系，即所谓正定还是负定；而|A|在-1＜|A|＜1的范围内，还是在其外，则决定了y的模长与x的模长谁更长，若|A|在(-1,1)范围内，|y|的模就短些，否则就长些。而对于C=AB，我们知道有|C|=|A||B|，显然，若|A|在(-1,1)范围内，|C|的绝对值就＜|B|的绝对值。|A|在三维范围内可被理解为二维时的面积和三维时的体积。|C|比|B|小了，则说明B经过A变换得到的被C中列向量包围的面积或体积更小了，那么这个变换就一定包括压缩的动作，若|C|的绝对值变得比|B|的绝对值大了，那么A变换就一定包含了拉伸的动作。如果|C|=|B|或|C|=-|B|呢？那就是A变换没有发生拉伸或压缩的动作。“旋转”就是一种没有拉伸或压缩的变换，|A|就只能是±1中的一个了。
作者：天下无难课
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