Fancy Coins

感觉这个凑的题目都是分类讨论

1.\(n\leq k\times a_k\)，显然先将\(a_k\)一直取到不能取为止（如果最终方案不是这样，我们可以将方案中的\(k\)个面值为\(1\)的硬币或者\(1\)个面值为\(k\)的fancy coin替换为一个面值为\(k\)的regular coin，答案肯定不会更差），于是\(n\)%\(=k\)

1).\(n\leq a_1\)，答案显然为\(0\)

2).\(n>a_1\)，答案显然为\(n-a_1\)

2.\(n>k\times a_k\)，与上面的分析相同，仍然先把\(a_k\)个\(k\)取走，于是\(n-=k\times a_k\)

1).\(n\leq a_1\)，答案显然为\(0\)

2).\(n>a_1\)，注意到\(a_1\)如果不取完，那么最终的方案一定是不包含面值为\(1\)的fancy coin的，接下来的讨论围绕这个进行

①.\(n<k\)，此时最终方案不可能包含面值为\(k\)的fancy coin，于是答案显然为\(n-a_1\)

②.\(k\leq n\)，此时方案可能会包含面值为\(k\)的fancy coin，考虑此时有多少个面值为\(1\)的regular coin

i.\(a_1>0\)

case 1:\(a_1\)全部取完了，此时显然一直取面值为\(k\)的fancy coin直到不能取了为止，剩下的全为面值为\(1\)的fancy coin

case 2:\(a_1\)没有全部取完，此时一定不存在面值为\(1\)的fancy coin，设取了\(t\)个面值为\(k\)的fancy coin，则\(0\leq n-tk\leq a_1\)，这个不等式必须有解才考虑这个case（否则只能考虑case 1），\(t=\lceil\frac{n-a_1}{k}\rceil\)

ii.\(a_1=0\)，情况类似上面的case 1