标签：函数 boldsymbol 数值 初值问题 微分方程 边值问题 计算方法

常微分方程初边值问题数值解

第九章

1. 引言

微分方程 :含有未知函数及其导数或微分的等式;

除了少数特殊类型的微分方程能用解析方法求得精确解外 , 多数情况找不到解的解析表达式

本章研究两类常微分问题： 一阶常微分方程的初值问题 ; 两阶常微分方程边值问题

• 一阶常微分方程的初值问题

\[\left.\left\{\begin{array}{ll}\boldsymbol{y}'=\boldsymbol{f}(x,\boldsymbol{y}),&\quad x\in[a,b],\\\boldsymbol{y}(\boldsymbol{a})=\boldsymbol{y}_0,\end{array}\right.\right. \]

\(y(x)\) 是定义在 [a,b] 上的 m 维函数向量; \(f(x,y)\) 是定义在 m + 1 维区域\(G=\{(x,\boldsymbol{y})\mid x\in[a,b],\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^m\}\) 上的 m 维已知函数向量.

由常微分方程理论知:如果函数 f(x,y) 在区域 G 中连续 , 且关于y 满足利普希茨 (Lipschitz) 条件 , 即对所有\(x\in[a,b]\text{ 及 }y\in\mathbb{R}^m, z\in\mathbb{R}^m,\) 总存在常数 L > 0,使得:

\[\|f(x,y)-f(x,z)\|\leqslant L\|y-z\|, \]

则方程 (9.1) 存在唯一解 , 且解连续依赖于初始条件和右端项

• 两阶常微分方程边值问题

\[\begin{cases}&-y''+q(x)y=f(x),\quad x\in[a,b],\\&y(a)=\alpha, y(b)=\beta,\end{cases} \]

其中 \(q(x)\) 和 \(f(x)\) 在区间 [a,b] 上连续 , q(x) > 0. 这里假设上述边值问题存在唯一解 , 且解连续依赖于边界条件和右端项

• 总结

无论是初值问题还是边值问题 , 其解 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(x)\) 都是区间 [a,b] 上关于变量 x 的函数或函数向量,\(\boldsymbol{y}=(y_1(x),y_2(x),\cdots,y_m(x))^T\). 记 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{N-1}<x_{N}=b\) 为求解区域中的一系列节点 . 数值解就是要计算精确解 \(\boldsymbol{y(x)}\) 在这些节点 \(x_n\) 处的近似值 \(\boldsymbol{y_n}\) .

为了简单起见,假设网格点为均匀网格:

\[h_n=x_{n+1}-x_n=h=\frac{b-a}{N}, \]

h为网格步长,本文主要介绍 m = 1 时的初值问题 , 对于边值问题和 m > 1 的情况下的初值问题将分别在最后两节作简单介绍

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