举例说明二次型和用 einsum 计算

什么是“二次型”

在数学中，特别是线性代数中，二次型（quadratic form） 是一个涉及向量和矩阵的表达式，其形式为：

[
Q(v) = v^T M v
]

其中：

• ( v ) 是一个向量（长度为 ( n )）。
• ( M ) 是一个 ( n \times n ) 的方阵（矩阵）。
• ( v^T ) 表示向量 ( v ) 的转置（即一个列向量变为行向量）。

这个表达式计算的结果是一个标量。

实际例子

假设我们有一个简单的二次型问题，其中：

• 向量 ( v ) 是 ( v = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} )。
• 矩阵 ( M ) 是 ( M = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 4 & 5 \end{pmatrix} )。

现在，我们要计算这个二次型：

[
Q(v) = v^T M v
]

1. 手动计算

首先，我们将向量 ( v ) 和矩阵 ( M ) 代入公式：

[
v^T M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 4 & 5 \end{pmatrix}
]

执行矩阵乘法：

[
v^T M = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 2 \times 4 & 1 \times 4 + 2 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 14 \end{pmatrix}
]

接着，我们再将结果与向量 ( v ) 相乘：

[
Q(v) = \begin{pmatrix} 11 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = 11 \times 1 + 14 \times 2 = 11 + 28 = 39
]

所以，二次型 ( Q(v) ) 的值是 39。

2. 使用 numpy.einsum 计算

现在，我们使用 numpy.einsum 来计算这个二次型：

import numpy as np

v = np.array([1, 2])
M = np.array([[3, 4], [4, 5]])

# 使用 einsum 计算二次型
Q = np.einsum('i,ij,j->', v, M, v)

print(Q)  # 输出 39

这段代码中，np.einsum('i,ij,j->', v, M, v) 表示计算 ( v^T M v ) 的值，结果同样是 39。

解读

这个例子中，我们展示了二次型的计算过程：

• 矩阵 ( M ) 表示的是一个二次形式，可能用于描述某种系统的能量或其他物理量。
• 向量 ( v ) 可以理解为输入的参数或状态。
• 二次型 ( Q(v) ) 计算的是在这个特定状态下，系统的总能量（或其他物理量）。

例如，在物理中，二次型可以用于描述一个系统的势能，其中矩阵 ( M ) 表示系统的耦合系数，向量 ( v ) 表示系统的位移。通过计算二次型 ( Q(v) )，我们可以得到系统在特定状态下的总能量。