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lca总结+树上差分

时间：2024-07-30 15:08:23浏览次数：13  
标签：return int sum 差分 -- num maxn lca 树上

lca

lca简称最近公共祖先——简介在此，不过多赘述

这里主要写的是倍增算法，oi-wiki上用的是vector，由于本人不会，只会用链表，所以这里就放链表的代码了

例题

image
image

加一个数组按倍增数组的方式存距离即可

题解——点击查看代码 
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,nxt[maxn<<2],to[maxn<<2],head[maxn<<2],tot,val[maxn<<2];
int cnt,dep[maxn<<2],f[maxn][20],dis[maxn][20];
void add(int x,int y,int z)
{
	to[++tot]=y;
	val[tot]=z;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int fa,int dist)
{
	dis[u][0]=dist;
	f[u][0]=fa;
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
	{
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
		dis[u][i]=dis[u][i-1]+dis[f[u][i-1]][i-1];
	}	
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,u,val[i]);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	int res=0;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=17;i>=0;i--)
	{
		if(dep[y]+(1<<i)<=dep[x]) res+=dis[x][i],x=f[x][i];	
	}
	if(x==y) return res;
	for(int i=17;i>=0;i--)
	{
		if(f[y][i]!=f[x][i])
		{
			res+=dis[x][i];
			res+=dis[y][i];
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return dis[x][0]+dis[y][0]+res;
}

signed main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	char aa[2];
	int x,y,z;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld %s ",&x,&y,&z,&aa[1]);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	} 
	dfs(1,0,0);
	int k;
	scanf("%lld",&k); 
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		printf("%lld\n",lca(x,y));
	}

	return 0;
}

树上差分

主要用途是在树上的一些统计计数操作，对树上两点路径的操作用的

主要思想

dfs深搜实现，在两端结点计数，在深搜回溯时把计数的操作从子节点传递到父节点，用下面这个图理解一下

image

假设我们有这样一张图，我们要在6和8两个节点间的路径加一，那我们在用树上差分时，在两端+1，会发现它们的最近公共

祖先2及以上祖先都加了2，我们的目的是让2加1，2的祖先不变，则我们需要在2处减一，2的父亲处再减一即可

[JLOI2014] 松鼠的新家

题解 
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,head[maxn<<2],tot,sum;
int cnt,dep[maxn<<2],f[maxn][21],tg[maxn],a[maxn];
bool vis[maxn<<2];
struct tree{int to,val,nxt;}e[maxn<<2];
void add(int x,int y)
{
	e[++tot].to=y;
	e[tot].nxt=head[x];
	head[x]=tot;
}

void dfs1(int u,int fa)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
	{
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(vis[y]||y==fa) continue;
		f[y][0]=u;
		dep[y]=dep[u]+1;
		dfs1(y,u);
	}
}

int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(dep[x]>=dep[y]+(1<<i)) x=f[x][i];
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

void dfs(int u)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(vis[y])continue;
		dfs(y);
		tg[u]+=tg[y];
	}
}

signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	} 
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x); 
	} 
	dfs1(1,0);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		tg[a[i]]++;
		tg[a[i+1]]++;
		tg[ lca(a[i],a[i+1]) ]--;
		tg[f[ lca(a[i],a[i+1]) ][0]]--;
		/*
		en~~,神奇的东西，相邻的加1，但从a[2]到a[3]时a[2]不用加1，这就导致除了首尾糖果都 多加了1，但到最后一个糖果时不用拿，所以只有第一个位置的糖果是对的
		所以让第一个糖果数加1，最后输出时都减一就好了 
		*/ 
	}
	memset(vis,0,sizeof vis);
	dfs(1);
	tg[a[1]]++; 
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",tg[i]-1);

	return 0;
}

拓展

1.求树上一点走k步可以走到的点的个数

将其 \(k\) 级祖先内的点加 \(1\) 用树上差分可以实现，这里再加一种更简便的思路

\(dfs\) 一遍，维护一个栈，进一个点时记一下数量，回溯时再记一下数量，回溯是把距离超过 \(k\) 的点从栈中删了

这里记的两个数量差就是 \(k\) 步可以走到的。复杂度 \(O(n)\)

点击查看代码 
void dfs(int &num,int x,int fa,int d)
{
	int t=num;
	if(d>top)st[++top]=0;
	num++,st[d]++;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa)continue;
		dfs(num,y,x,d+1);
	}
	ans[x]=num-t;
	if(top==d+k) num-=st[top--];
}

2.环上差分

环上差分需要先找环，适用于环上的点对一段区间有影响问题

floyd找环法 
while(u!=y&&u!=to[y])u=to[u],y=to[to[y]];

环上差分和树上差分差不多，都是信息一步一步向上传来统计的

[ICPC2019 WF] Hobson's Trains

题解 
#include<bits/stdc++.h>
const int maxn=5e5+10;
using namespace std;
int n,k,tot,head[maxn],to[maxn],nxt[maxn],v[maxn];
int st[maxn],top,ans[maxn],a[maxn],cnt,s[maxn];

void add(int x,int y)
{
	to[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
} 

void dfs(int &num,int x,int fa,int d)
{
//	cout<<x<<" "<<fa<<" "<<d<<endl;
	int t=num;
	if(d>top)st[++top]=0;
	num++,st[d]++;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa)continue;
		dfs(num,y,x,d+1);
	}
	ans[x]=num-t;
	if(top==d+k) num-=st[top--];
}
inline int mo(int i,int x){return i+x<=cnt?i+x:i+x-cnt;}
void solve(int x)
{
	int u=x,y=v[x];
	while(u!=y&&u!=v[y])u=v[u],y=v[v[y]];
	a[cnt=1]=u;
	for(int i=v[u];i!=u;i=v[i])a[++cnt]=i;
//	for(int i=1;i<=cnt;i++)s[i]=0;
	fill(s+1,s+cnt+1,0);
	int sum=min(k+1,cnt);
//	cout<<cnt<<" !"<<endl;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		for(int j=head[a[i]];j;j=nxt[j])
		{
			int y=to[j];
			if(y==a[mo(i,cnt-1)])continue;
			int num=0;
			st[top=0]=0;
			dfs(num,y,a[i],1);
			for(int d=1;d<=top;d++)
			{
				int temp=st[d];
				if(k-d>=cnt)sum+=temp;
				else
				{
					int m=mo(i,k-d+1);
					s[i]+=temp,s[m]-=temp;
					if(m<=i) s[1]+=temp;
				}
			} 
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++) sum+=s[i],ans[a[i]]=sum;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0); 
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		add(x,i);
		v[i]=x;
//		ans[i]=-1;
	}
	fill(ans+1,ans+1+n,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(ans[i]==-1) solve(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<ans[i]<<'\n';
	
	return 0;
}
/*
6 2
2 
3
4
5
4
3
*/

你已完成新手教程，下面开启困难模式

树上差分计数变形

[NOIP2015 提高组] 运输计划

题解——二分加树上差分 
#include<bits/stdc++.h>
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int n,m,root,head[maxn],tot,a[maxn],b[maxn];
int cnt,dep[maxn],f[maxn][21],dis[maxn][21],sum[maxn],l,r,ans;
bool vis[maxn];
struct tree{int to,val,nxt;}e[maxn<<2];
struct node{int a,b,anc,val;}le[maxn<<2]; 

void add(int x,int y,int z)
{
	e[++tot].to=y;
	e[tot].nxt=head[x];
	e[tot].val=z;
	head[x]=tot;
}

void dfs(int u,int fa)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
	{
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; 
		dis[u][i]=dis[u][i-1]+dis[f[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(vis[y]||y==fa) continue;
		f[y][0]=u;
		b[y]=i;
		dis[y][0]=e[i].val;
		dep[y]=dep[u]+1;
		dfs(y,u);
	}
}

int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(dep[x]+(1<<i)<=dep[y]) y=f[y][i];	
	}
	if(x==y) return y;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[y][i]!=f[x][i])
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[y][0];
}


int solve(int x,int y)
{
	int res=0;
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=17;i>=0;i--)
	{
		if(dep[x]>=dep[y]+(1<<i)) res+=dis[x][i],x=f[x][i];
	}
	if(x==y)return res;
	for(int i=17;i>=0;i--)
	{
		if(f[y][i]!=f[x][i])
		{
			res+=dis[x][i]+dis[y][i];
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return dis[x][0]+dis[y][0]+res;
}

void update(int now,int fa)
{
	for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=fa)
		{
			update(e[i].to,now);
			sum[now]+=sum[e[i].to];
		}
	}
}

bool check(int x)
{
	int cnt=0,dec=0;
	memset(sum,0,sizeof sum);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(le[i].val>x)
		{
			cnt++;
			sum[le[i].a]++;
			sum[le[i].b]++;
			sum[le[i].anc]-=2;
			dec=max(dec,le[i].val-x);
		}
	}
	update(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(sum[i]==cnt&&e[b[i]].val>=dec) return 1;
		return 0; 
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y,z;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		le[i]={x,y,lca(x,y),solve(x,y)};
		r=max(r,le[i].val);
	} 
	r++;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))ans=r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d",ans);

	return 0;
}

树上差分加线段树合并

[Vani有约会] 雨天的尾巴

题解 
#include<bits/stdc++.h>
#define lid m[id].ls
#define rid m[id].rs
const int maxn=1e5+10;
using namespace std;
int n,t,len,head[maxn],nxt[maxn<<1],to[maxn<<1],tot,cnt;
int rt[maxn],sum,s[maxn*80],ans[maxn];
struct node{int ls,rs,sum;}m[maxn*80];
int dep[maxn],f[maxn][21];

inline void add(int x,int y)
{
	to[++cnt]=y;
	nxt[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
}

inline void addm(int x,int y)
{
	add(x,y);
	add(y,x);
}

inline void push(int id)
{
	if(!lid){m[id].sum=m[rid].sum,s[id]=s[rid];return ;}
	if(!rid){m[id].sum=m[lid].sum,s[id]=s[lid];return ;} 
	m[id].sum=max(m[lid].sum,m[rid].sum);
	s[id]=m[lid].sum>=m[rid].sum?s[lid]:s[rid]; 
}

inline void merge(int &a,int b,int l,int r)
{
    if(!b) return;
    if(!a){ a=b;return ;}
    if(l==r){ m[a].sum+=m[b].sum;return ;}
    int mid=(l+r)>>1;
    merge(m[a].ls,m[b].ls,l,mid),merge(m[a].rs,m[b].rs,mid+1,r);
    push(a);
}

inline void insert(int &id,int l,int r,int x,int y)
{
	if(!id)id=++tot;
	if(l==r)
	{
		m[id].sum+=y;
		s[id]=x;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)insert(lid,l,mid,x,y);
	else insert(rid,mid+1,r,x,y);
	push(id);
} 

inline void dfs(int u,int fa)
{
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa)continue;
		f[y][0]=u;
		dep[y]=dep[u]+1;
		dfs(y,u);
	}
} 

inline int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[y]+(1<<i)<=dep[x])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[y][i]!=f[x][i])
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

void as(int u,int fa)
{
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i];
		if(y==fa)continue;
		as(y,u);
		merge(rt[u],rt[y],1,maxn-10);
	}
	ans[u]=s[rt[u]];
	if(!m[rt[u]].sum) ans[u]=0;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&t);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addm(x,y);
	} 
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		int a,b,c,d; 
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		d=lca(a,b);
		insert(rt[a],1,maxn,c,1),insert(rt[b],1,maxn,c,1);
		insert(rt[d],1,maxn,c,-1);
		insert(rt[f[d][0]],1,maxn,c,-1); 
	} 
	as(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

标签：return,int,sum,差分,--,num,maxn,lca,树上
From： https://www.cnblogs.com/oceansofstars/p/18184517

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