CF1523E Crypto Lights 题解

传送门。

题目大意：有 \(n\) 个台灯，初始时都是暗的，每次随机点亮一个暗台灯，若点亮后存在一个长度为 \(k\) 的连续段有大于一个台灯被点亮则立刻停止，求期望点亮多少台灯。

(就是直接把原题翻译搬过来了)

很明显的期望dp，状态定义也很明显，设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 次停止的概率，很显然最终答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}f_i\times i\)。

但是这个 \(f_i\) 非常难求，所以考虑转化一下：

设 \(s\) 是 \(f\) 的后缀和数组，即 \(s_i=\sum_{j=i}^{n}f_i\)，那么最后要求的是 \(\sum_{i=1}^{n}s_i\)。

由 \(s\) 的定义可得：\(s_i\) 也就相当于第 \(i-1\) 次没有停止的概率，这个就比较容易求了。

算概率肯定要知道总可能数和符合条件的数量。总可能数很显然是从 \(n\) 个灯里面选出 \(i-1\) 个，即 \(C_{n}^{i-1}\)。

现在就是要求从 \(n\) 个灯里面选出 \(i-1\) 个灯，任意两个灯之间都至少有 \(k-1\) 个灯。

我们可以考虑把这 \(k-1\) 个灯先拿出来，算方案数，然后再在任意两个灯之间插入 \(k-1\) 个灯。

接下来就很好算了，一共有 \(i-2\) 个空隙，所以总共是 \(n-(k-1)(i-2)\) 个，然后选出 \(i-1\) 个，所以一共就是 \(C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}\)。

那么最终答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}}{C_{n}^{i-1}}\)。

代码过于简单，就不放了。