【小白记录深度学习】——物理信息神经网络（PINNs）

本文的内容基于论文解读，解读的论文为Physics-Informed Neural Networks for Shell Structures和Recent Advances and Applications of Machine Learning in Experimental Solid Mechanics: A Review

什么是物理信息神经网络

PINNs（Physics - informed Neural Networks，物理信息神经网络）的基本原理是应用神经网络来近似解决物理问题，将物理原理（用偏微分方程数学表达）作为先验知识，通过对偏微分方程残差的惩罚来实现。

具体来说，PINNs在训练过程中，会将物理定律融入到学习算法中。例如，在固体力学问题中，平衡方程等物理定律可以被编码到神经网络的训练中。这样，神经网络在学习过程中，不仅会根据数据进行调整，还会受到物理定律的约束，从而使得学习到的结果不仅能够拟合数据，还能够符合物理定律。

想象一下，我们有一个非常复杂的物理问题，这个问题可以用一些数学方程来描述，但是这些方程很难直接求解。这时，PINN方法就像一个聪明的学生，它使用一个神经网络来尝试理解这个问题。这个神经网络就像是学生的大脑，它可以学习和理解复杂的信息。首先，我们把这个物理问题的相关信息告诉神经网络，比如问题的条件、边界等等。然后，神经网络会根据这些信息进行学习和预测。它会尝试找出一个答案，使得这个答案能够满足物理问题的数学方程和边界条件。在学习的过程中，神经网络会不断地调整自己的参数，就像学生不断地改进自己的学习方法一样，直到它找到一个最好的答案。最后，我们就可以得到这个物理问题的解，这个解就是神经网络通过学习和预测得到的结果。

这种方法的优势在于，相比于传统的数据驱动神经网络方法，PINNs需要的数据量更少，就能达到相似的预测能力。因为物理定律的注入为神经网络提供了额外的信息和约束，使其能够更有效地学习和泛化。

例如，在研究流体动力学的PINNs应用中，通过利用几个被动标量浓度场的快照，PINNs能够预测速度和压力场。而在传统的数据驱动方法中，如果不整合流体物理信息，可能需要至少数百对浓度、速度和压力场的快照作为训练数据才能达到相似的预测效果。PINNs通过融合数据和物理知识，为解决科学和工程中的问题提供了一种新的有效途径。

如何构建一个物理信息神经网络

下面的代码是一个简单的基于 PINNs 求解 Navier-Stokes 方程的示例。

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
from torch.autograd import grad

# 定义神经网络模型
class PINNModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(PINNModel, self).__init__()
        self.layer1 = nn.Linear(3, 50)  # 输入维度为 3（空间维度 + 时间）
        self.relu = nn.ReLU()
        self.layer2 = nn.Linear(50, 50)
        self.layer3 = nn.Linear(50, 4)  # 输出维度为 4（速度的三个分量和压强）

    def forward(self, x):
        out = self.layer1(x)
        out = self.relu(out)
        out = self.layer2(out)
        out = self.relu(out)
        out = self.layer3(out)
        return out

# 计算导数
def derivative(f, x):
    return grad(f, x, create_graph=True)[0]

# 定义损失函数
def loss_function(model, x, y_true):
    u_pred, v_pred, w_pred, p_pred = model(x)  # 预测的速度分量和压强

    # 计算 Navier-Stokes 方程的残差
    u_x = derivative(u_pred, x[:, 0])
    u_y = derivative(u_pred, x[:, 1])
    u_z = derivative(u_pred, x[:, 2])
    u_t = derivative(u_pred, x[:, 3])

    v_x = derivative(v_pred, x[:, 0])
    v_y = derivative(v_pred, x[:, 1])
    v_z = derivative(v_pred, x[:, 2])
    v_t = derivative(v_pred, x[:, 3])

    w_x = derivative(w_pred, x[:, 0])
    w_y = derivative(w_pred, x[:, 1])
    w_z = derivative(w_pred, x[:, 2])
    w_t = derivative(w_pred, x[:, 3])

    p_x = derivative(p_pred, x[:, 0])
    p_y = derivative(p_pred, x[:, 1])
    p_z = derivative(p_pred, x[:, 2])

    rho = 1.0  # 假设密度为 1

    continuity_residual = u_x + v_y + w_z  # 连续性方程残差
    momentum_x_residual = rho * (u_t + u * u_x + v * u_y + w * u_z) + p_x - (0.1 * (u_x + u_x**2 + u_y**2 + u_z**2))  # x 方向动量方程残差
    momentum_y_residual = rho * (v_t + u * v_x + v * v_y + w * v_z) + p_y - (0.1 * (v_x + v_x**2 + v_y**2 + v_z**2))  # y 方向动量方程残差
    momentum_z_residual = rho * (w_t + u * w_x + v * w_y + w * w_z) + p_z - (0.1 * (w_x + w_x**2 + w_y**2 + w_z**2))  # z 方向动量方程残差

    # 边界条件和初始条件的残差
    bc_residual = (u - 0) ** 2 + (v - 0) ** 2 + (w - 0) ** 2  # 边界速度为 0 的残差
    ic_residual = (u - 0) ** 2 + (v - 0) ** 2 + (w - 0) ** 2 + (p - 0) ** 2  # 初始速度和压强为 0 的残差

    # 组合损失
    loss = torch.mean((continuity_residual) ** 2 + (momentum_x_residual) ** 2 + (momentum_y_residual) ** 2 + (momentum_z_residual) ** 2 + bc_residual + ic_residual)
    return loss

# 训练函数
def train(model, optimizer, x_train, epochs):
    for epoch in range(epochs):
        optimizer.zero_grad()
        loss = loss_function(model, x_train)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        if (epoch + 1) % 100 == 0:
            print(f'Epoch [{epoch + 1}/{epochs}], Loss: {loss.item()}')

# 生成训练数据
x_train = torch.rand(1000, 4)  # 随机生成输入数据（空间维度 + 时间）

# 创建模型实例
model = PINNModel()

# 定义优化器
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 训练模型
train(model, optimizer, x_train, epochs=1000)

物理信息神经网络的具体应用案例

PINNs（物理信息神经网络）在固体力学中有以下具体应用案例：

1. 线性弹性材料微力学建模：Henkes等人运用PINNs对线性弹性材料的微力学进行建模。
2. 弹塑性固体的替代模型构建：Haghighat等人使用PINNs为弹塑性固体建立替代模型。
3. 壳结构的小应变响应建模：Bastek和Kochmann利用PINNs对壳结构的小应变响应进行建模。
4. 非均匀材料和几何分布的识别：Zhang等人展示了PINNs可以有效地识别在平面应变条件下非均匀材料和几何分布，例如识别内部裂纹信息，且直接将底层物理信息（如材料压缩性和平衡方程）集成到损失函数中，减少了训练数据量并提高了预测精度，还可用于推断其他材料属性如模量分布。

PINNs通过将物理原理作为先验知识融入神经网络，在解决固体力学中的正向和逆向问题方面具有很大的潜力。