对一个具有n个点的连通图进行遍历,对于遍历后的子图,其包含原图中所有的点且保持图连通,最后的结构一定是一个具有n-1条边的树,通常称为生成树。
右边两个子图,就是左边图的生成树。
在生成树问题中,最常见的就是最小生成树问题,所谓最小生成树,就是对于一个有n个点的无向连通图的生成树,其包含原图中的所有点,且保持图连通的边权总和最少的边。
简单来说,对于一个有n个点的图,边一定是大于等于n-1条的,最小生成树,就是在这些边中选择n-1条出来连接所有的n个点,且n-1条边点边权之和是所有方案中最小的。
最小生成树有以下两条性质:
- 切割性质:连接点x,y的边权最小的边必定被生成树包含
- 回路性质:任意回路/环上的边权最大的边必不被生成树包含
总结一下就是计算\(\color{red}{无向连通图的生成树的最小权值之和}\)
模版题
P3366 【模板】最小生成树
Kruskal算法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int f[N],ans,cnt;
bool tmp;
struct edge{
int x,y,z;
}e[N];
bool cmp(edge a,edge b){
return a.z<b.z;
}
int find(int x){ return f[x]==x ? x : f[x]=find(f[x]); }
int main(){
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d %d %d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
sort(e+1,e+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;++i){
int fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y);
if(fx==fy) continue;
f[fy]=fx;
ans+=e[i].z;
++cnt;
if(cnt==n-1){
tmp=1;
break;
}
}
if(tmp) printf("%d",ans);
else puts("orz");
return 0;
}
Prim算法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int cnt,ans,dis[N];
vector<int>e[N],w[N];
bool vis[N];
struct node{
int u,w;
};
bool operator < (node x,node y){
return x.w>y.w;
}
priority_queue<node>q;
void prim(int n){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[1]=0; q.push(node{1,0});
while(!q.empty()&&cnt<n){
int u=q.top().u,W=q.top().w; q.pop();
if(vis[u]) continue; vis[u]=1;
ans+=W;
++cnt;
for(int v,W,i=0;i<e[u].size();++i){
v=e[u][i]; W=w[u][i];
if(W<dis[v]){
dis[v]=W;
q.push(node{v,W});
}
}
}
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
while(m--){
int x,y,z;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
e[x].push_back(y);
w[x].push_back(z);
e[y].push_back(x);
w[y].push_back(z);
}
prim(n);
if(cnt==n) printf("%d",ans);
else puts("orz");
return 0;
}
标签:个点,int,最小,生成,include,dis
From: https://www.cnblogs.com/swjswjswj/p/18323511