Normal Matrix（法向量变换矩阵）

标签：Matrix Normal ModelView 矩阵 transpose 向量 gl NormalMatrix

我们都知道gl的坐标系统。它的工作是将坐标从一个坐标系转到另一个坐标系。其中我们用到了几个转换矩阵。其中最为重要的是模型（Model）、视图（View）、投影（Projection）三个矩阵。因为涉及光线光照部分的计算通常都在eye space中进行计算，所以我们需要把坐标转换到eye space中，否则基于眼睛位置的效果（比如镜面反射）就很难实现。一般通过以下代码将vertex到 eye space:

vertexEyeSpace = gl_ModelViewMatrix * gl_Vertex;

为什么我们不能对法向量（normal vector）进行同样的运算来转换到 eye space 呢？首先，法向量（normal vector）是一个三维向量，而 ModelView 是一个 44 的矩阵。其次，因为法向量代表方向，我们想要做的就是将该方向变换到 eye space 中。那么我们是否可以直接用modelView左上角的 33 矩阵来做这个变换呢？如果可以，我们只需要用下面的代码就可以完成变换：

normalEyeSpace = vec3(gl_ModelViewMatrix * vec4(gl_Normal, 0.0));

很遗憾，上面的变换只适用于某些情况。这也是因此我们引入了 gl_NormalMatrix 的原因。
我们先来推导下gl_NormalMatrix：
首先我们来看下下面这张图：

 

 

其中N是我们的法向量，T是三角形的切向量。那么我们想要求的gl_NormalMatrix应该满足变换前后方向不变。假设变换后的切向量为T'，变换后的法向量为N'。所以应该满足：
T' * N' = T * N = 0。
下面是推导过程：
c代表因为，s代表所以：

c:
T = (P2 - P1)
s:
ModelView * T = ModelView * (P2 - P1) = ModelView * P2 - ModelView * P1 = P2' - P1'
 => ModelView * T = T'
c:
N' =  NormalMatrix * N
T' = ModelView * T
T' * N' = T * N = 0
s:
(NormalMatrix * N) · (ModelView * T) = 0
=>
transpose(NormalMatrix * N) * (ModelView * T)  //向量点积，相当于把一个向量转置再乘以另外一个向量
transpose(N) * transpose(NormalMatrix) * ModelView * T = 0
c:
N * T = 0  //因为N与T点积为0，也就是transpose(N)*T为0（点积相当于转置一个向量后乘以另外一个向量），所以上面式子中间部分为单位矩阵，因为向量乘以单位矩阵等于自身，即transpose(NormalMatrix)*ModelView=单位矩阵I
s:
 transpose(NormalMatrix) * ModelView = I
=> NormalMatrix = transpose((ModelView)^(-1))

即NormalMatrix是ModelView矩阵逆的转置。

我们也可以看到，当M（ModelView）矩阵为正交矩阵时（即M的转置等于M的逆）时，法向量变换阵（NormalMatrix）等于M阵。这就是上文所说的特例。

重要结论：
NormalMatrix是ModelView矩阵逆的转置

参考：
http://www.lighthouse3d.com/tutorials/glsl-12-tutorial/the-normal-matrix/

作者：雨幻逐光
链接：https://www.jianshu.com/p/e001aec29976
来源：简书
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From： https://www.cnblogs.com/DvsJ/p/16813888.html