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[NOIP2011 提高组] 聪明的质检员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从 \(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：

1. 给定$ m$ 个区间 \([l_i,r_i]\)；
2. 选出一个参数 \(W\)；
3. 对于一个区间 \([l_i,r_i]\)，计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\)：

\[y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \]

其中 \(j\) 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 \(W\) 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\) 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n,m,s\)，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 \(n\) 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+1\) 行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\)。

接下来的 \(m\) 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+n+1\) 行表示区间 \([l_i,r_i]\) 的两个端点 \(l_i\) 和 \(r_i\)。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

样例输出 #1

10

提示

【输入输出样例说明】

当 \(W\) 选 \(4\) 的时候，三个区间上检验值分别为 \(20,5 ,0\) ，这批矿产的检验结果为 \(25\)，此时与标准值 \(S\) 相差最小为 \(10\)。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10\)；

对于 $30% $的数据，有 \(1 ≤n ,m≤500\) ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 \(70\%\) 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤10,000\) ；

对于 \(100\%\) 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\) 。

解答过程:

• 枚举每一个\(W\)可能的值,然后对于每一次区间上的检验,首先求出一个前缀数组,再利用前缀数组直接差分来求解区间上产品的价值
• 如果不利用前缀数组的话,这个区间求价值度的时间复杂度就会达到 \(O(n*m)\) 最差情况下,利用前缀和可以把每次查询的时间复杂度由\(O(n)\)变为\(O(1)\)

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200009
using i64 = long long;
i64 w[MAXN], l[MAXN], r[MAXN], v[MAXN];
i64 qian[MAXN], num[MAXN];

int main()
{
  i64 n, m, s;
  scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &s);
  i64 w_max;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    scanf("%lld %lld", &w[i], &v[i]);
    i == 1 ? w_max = w[i] : w_max = std::max(w_max, w[i]);
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    scanf("%lld %lld", &l[i], &r[i]);
  auto _find = [&](int W)
  {
    for (int i = 0; i <= n; i++)
      qian[i] = 0, num[MAXN] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
      qian[i] = qian[i - 1] + (w[i] >= W ? v[i] : 0);
      num[i] = num[i - 1] + (w[i] >= W ? 1 : 0);
    }
    i64 ans = 0;
    for (int _ = 1; _ <= m; _++)
    {
      i64 t1 = num[r[_]] - num[l[_] - 1];
      i64 t2 = qian[r[_]] - qian[l[_] - 1];
      ans += t1 * t2;
    }
    return ans;
  };
  i64 _left = 0, _right = w_max;
  i64 __MIN__ = LONG_LONG_MAX;
  while (1)
  {
    if (_left > _right)
      break;
    i64 mid = _left + (_right - _left) / 2;
    i64 ans = _find(mid);
    __MIN__ = std::min(__MIN__, abs(s - ans));
    if (_right == _left)
    {
      __MIN__ = std::min(__MIN__, abs(s - ans));
      break;
    }
    if (ans < s)
    {
      _right = mid ;
    }
    else if (ans > s)
    {
      _left = mid+1;
    }
    else
    {
      __MIN__ = 0;
      break;
    }
  }
  std::cout << __MIN__;
  return 0;
}

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From： https://www.cnblogs.com/cxjy0322/p/18310609