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闲话

不是，绝区零真好玩吧？
质疑艾莲，理解艾莲，单推艾莲 /se

从图书馆借了本陶哲轩实分析（

预告：处理▂▕▄▄制▒▟▀问题可以▙依赖[错误: 所引对象未导引至对象实例 ; 标准处理方法_003.rtf 不存在]。不确定能否[已编辑]。

推歌：未名星河 by 蛾君 et al. feat. 洛天依

奇思妙想：一阶常系数非齐次线性递推的远点值

那些你不要的（其*）。

给定 \(p, q_0, \dots, q_m\)，定义 \(a_{-1} = 0\)，\(\forall n \ge 0, a_{n} = pa_{n - 1} + \sum_{i = 0}^m q_i n^i\)。

求 \(a_n\)，其中 \(n\) 较大。

令 \(F(x)\) 为 \(\{a_n\}\) 的 gf，\(G(x)\) 为修正 gf，则直接列出

\[F(x) = pxF(x) + G(x) \]

为分析 \(G(x)\)，只需要考察 \(\sum_n n^ix^n\)。知道

\[\sum_{n\ge 0} n^ix^n = \sum_{n\ge 0} [t^i/i!] e^{nt} x^n = \left[\frac{t^i}{i!}\right] \frac{1}{1 - xe^t} \]

那么

\[G(x) = \sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right] \frac{1}{1 - xe^t} = \left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right) \frac{1}{1 - xe^t} \]

从而 \(F(x) = G(x) / (1 - px)\)，带入得到

\[F(x) = \left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right) \frac{1}{(1 - px)(1-e^tx)} \]

明眼人都能看出来该分式分解了。直接将 Apart[1/((1 - e^t x)(1 - p x)), x] 输入 mma，我们就能得到

\[\frac{1}{(1 - px)(1-e^tx)} = \frac{1}{e^t - p}\left(\frac{e^t}{1 - e^tx} - \frac{p}{1 - px}\right) \]

直接提取 \(x^n\) 项系数，就能得到答案其实是

\[\left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right)\frac{e^{(n + 1)t} - p^{n + 1}}{e^t - p} \]

瓶颈是提取后面那个东西的前 \(m\) 项系数，直接模 \(x^{m + 1}\) 意义下求逆就是 \(O(m \log m)\) 的。

不太懂能不能做到 \(O(m)\)，根据伯努利数 gf 不微分有限的经验，我们可能需要一些不依赖 dfinite 的做法。

一个 motivation 是 egf 和 ogf 的转换。那么答案就是

\[\left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[t^i\right]\right)\sum_{i = 0}^n\frac{p^{n - i}}{1 - it} \]

然后咋办啊？

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From： https://www.cnblogs.com/joke3579/p/18306766/chitchat240717