拉氏变换定义及如何确定拉氏变换的收敛域

时间：2024-07-16 15:54:17浏览次数：8

标签：信号变换拉氏 https 收敛 eq

前言：有些信号是不满足绝对可积的条件，不可积也就不存在傅里叶变换，为满足信号的频域分析，引入一个衰减因子 $e^{-\sigma t}$ 来满足绝对可积的条件。

我们都知道一个信号 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$ ，此时引入衰减因子 $e^{-\sigma t}$ ，并令 $f_1(t)=f(t)e^{-\sigma t}$ ,即有

$F_1(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt$ ,进一步化简有

$F_1(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dt$ ，再令 $s=\sigma+j\omega$ ,若 $\sigma=0$ ，则有

$F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{st}dt$ （拉氏变换定义式）

$\sigma$ 叫变量 $s$ 的实部，记作 $Re[s]$ ， $s$ 域也称复频域，在二维轴上横轴用 $Re[s]$ 表示，纵轴用 $Im[s]$ 表示。

那如何确定一个信号的收敛域，即 $\sigma$ 的范围。

例1.1下面以信号 $f(t)=e^{at}\varepsilon (t)$ 为例

其拉氏变换为： $F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{(a-s)t}dt$

$\Rightarrow \frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}|_{0}^{\infty}$

而要想拉氏变换存在，必须满足 $(a-s)>0$ ，即收敛域 $\Rightarrow Re[s]>a$

而 $F(s)=\frac{1}{s-a}$

同理

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From： https://blog.csdn.net/m0_67648017/article/details/140467593

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