前言

暑期第三次组队赛是选的21年杭电多校10，遗憾爆0，被对面队打爆，赛后狠狠补题。这道题的题解，以及网上搜到的其他题解看了好久没看懂，在问了队里大腿多次后，总算磨出来了，这里讲一下我的理解。

题意

多次询问，每次给定 \(n\) 和 \(k\)， 如果一个数的质因数里包括前 \(k\) 个质数，则这个数是 讨厌 的，问 \(1\) 到 \(n\) 中有多少个数是不讨厌的。
数据范围 \(1 \leq n \leq 10^{18}, 1 \leq k \leq 16\)

思路

首先直接 \(2^k\) 的枚举质因数，然后容斥，这个是简单的。具体来说就是直接dfs 爆搜，枚举每个质因数选或者不选，选的话就乘上这个数，最终得到一个 \(x\) 以及 容斥系数 \(f\) ，容斥系数根据选的质因数的奇偶性，决定是 \(1\) 或者 \(-1\)。然后将答案加上 \(1 - n\) 中是 \(x\) 的倍数的个数乘 \(f\)。

通过这个容斥， 我们能得到的是 1 - n 中不是前k个质数倍数的个数，这句话，以及题解里面也是类似的描述，有一点歧义的地方。不是前k个质数的倍数，意思是质因数不包含前 k 个质数。而不是，不是前k个质数的乘积的倍数(因为题解里面多次强调了前8个质数的乘积9699690，就容易误解不是前8个质数倍数，指不是9699690倍数)。

然后因为 \(k\) 的数据范围是16，所以直接这样 \(2^k\) 容斥枚举是T的，因为多测次数很多。所以正解的思路是，先对前8个质数进行容斥枚举，预处理出一个数组 \(sum[i]\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 中，质因数不包含前8个质数的数字个数。然后只对第 \(8\) 到第 \(k\) 个质数进行枚举容斥。

就是这个什么叫只对后面几个数进行容斥，把我控了很久，因为普通的容斥，肯定是考虑前面和后面，总的选的数的个数，决定正负啥的。

然后我是这样去理解:
对一些位去容斥，最终目的是为了求出，1 - n 中不包含这些质因数的数字个数。然后我们对 9 到 k位去容斥，所以保证了这些数一定不包含9 到 k个质因数，然后我们只需要再保证这些数不包含前8个质因数，那这些数就是符合题意的。换言之，就是在容斥后几位的同时，保证能忽略掉前8位的影响。

然后具体的，由于容斥过程中，我们枚举了哪些质因数得到乘积 \(x\) 之后，我们要求的反而是 \(1 - n\) 中是 \(x\) 的倍数的个数。

因为是对后几个质因数容斥，所以我们要求的是 \(1-n\) 中是枚举到的后几个质因数的倍数的个数，因为忽略了前8位，所以我们还得保证求出来的这些数不能有前 8个质因数。也就是，通过容斥计算 \(1-n\) 不含后几位质因数的数量，在整个容斥过程中，还保证了全程枚举到的数不包含前 \(8\) 个质因数，所以最终算出来的就是前 \(k\) 个质因数都不包含的总数。

在后几位的容斥过程中，假如枚举到的乘积是 \(x\) ，问题转化为求 \(1-n\) 中是 \(x\) 的倍数，并且不包含前 \(8\) 个质因数的数字个数。
由于是 \(x\) 倍数，所以这些数 \(x, 2x, 3x \dots\) 一定能表示成 \(kx (1 \leq k \leq \lfloor \frac{n}{k} \rfloor)\) ，因为 \(x\) 是后几个质因数倍数，所以肯定不含前 \(8\) 个质因子。所以我们相当于，求 \(1 - \frac{n}{k}\) 中，有多少个数不含前 \(8\) 个质因数，这个问题等价于求 \(n_1 = \frac{n}{k}, k_1 = 8\) 的子问题了。所以可以预处理 \(k=8\) 的所有答案。

然后由于 \(n\) 很大，没办法预处理 \(n = 1 - 10^{18}, k = 8\) 的所有答案，这时候还需要发现一个性质。 由于前8个质因数的乘积，或者说是最小公倍数是9699690, 假设有一个比较大的 \(n\)， 画在数轴上，把有前 \(8\) 个质因数的点 \(i\) 标1，那么显然这些数的 \(lcm\) 就是一个循环节，所以 这个很大的 \(n\) 的答案等于拥有这些循环节的个数乘上一个循环节的答案，加上多出来那一截 \(n \mod lcm\) 对应的答案。(从这个循环节和数轴的角度，感觉比较好理解题解里面那个为什么要取余 lcm)

所以得到题解里面那个式子，这里的答案指的是 \(k = 8\) 时，\(1-n\) 中不含前 \(8\) 个质因数的数字个数。

然后就是代码了