lim_{x→0} f(x)/x²=1，求证f'(0)=0

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确定0比0型\(\frac{0}{0}\)

x→0时，(1-cos x)→0，且\(\frac{f(x)}{1-\cos x}\)的极限存在
则x→0时，f(x)→0。（否则，\(\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=∞\)）

导数定义+构造辅助分式

又因为f(x)在x=0的某邻域内连续，根据函数在某点连续的定义，有f(0)=\(\lim\limits_{x→0}f(x)=0\)。
则\(\lim\limits_{x→0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x→0} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x→0} (\frac{f(x)}{1-\cos x}·\frac{1-\cos x}{x})\)
其中\(\lim\limits_{x→0} \frac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x→0} \frac{\sin x}{1}=0\)

lim(A*B)=lim A*lim B

根据极限的四则运算法则，有

\[\lim\limits_{x→0} (\frac{f(x)}{1-\cos x}·\frac{1-\cos x}{x})=\lim\limits_{x→0} \frac{f(x)}{1-\cos x}·\lim\limits_{x→0} \frac{1-\cos x}{x}=2·0=0 \]

导数定义

因为\(f'(x_0)=\lim\limits_{x→x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x→h} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
所以\(f'(0)=\lim\limits_{x→0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\)

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