数学基础 -- 洛必达法则

洛必达法则

洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中的一个重要定理，用于求解某些未定形式极限的问题。其基本思想是通过求导来简化极限计算。洛必达法则主要用于处理以下两种未定形式的极限： 0 0 \frac{0}{0} 00​和 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​。

洛必达法则的公式

假设函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在某一开区间内可导，且在该区间内 g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x) \neq 0 g′(x)=0，如果当 x x x 趋于某一点 c c c（或趋于无穷大）时，极限 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)​ 具有未定形式 0 0 \frac{0}{0} 00​ 或 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​，那么：

lim ⁡ x → c f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} x→clim​g(x)f(x)​=x→clim​g′(x)f′(x)​

前提是右边的极限存在或趋于无穷大。

使用步骤

1. 确认未定形式：首先检查极限 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)​ 是否为 0 0 \frac{0}{0} 00​ 或 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​ 形式。
2. 求导数：分别求出 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 的导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 和 g ′ ( x ) g'(x) g′(x)。
3. 求极限：计算 f ′ ( x ) g ′ ( x ) \frac{f'(x)}{g'(x)} g′(x)f′(x)​ 的极限。
4. 迭代应用：如果求出的极限仍为未定形式，可以再次应用洛必达法则，直到得到确定的结果。

示例

求以下极限：

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} x→0lim​xsin(x)​

1. 确认未定形式：当 x → 0 x \to 0 x→0 时， sin ⁡ ( x ) → 0 \sin(x) \to 0 sin(x)→0 和 x → 0 x \to 0 x→0，所以极限是 0 0 \frac{0}{0} 00​ 形式。
2. 求导数：
   f ( x ) = sin ⁡ ( x ) , f ′ ( x ) = cos ⁡ ( x ) f(x) = \sin(x), \quad f'(x) = \cos(x) f(x)=sin(x),f′(x)=cos(x)
   g ( x ) = x , g ′ ( x ) = 0 g(x) = x, \quad g'(x) = 0 g(x)=x,g′(x)=0
3. 求极限：
   lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x = lim ⁡ x → 0 cos ⁡ ( x ) 1 = cos ⁡ ( 0 ) = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 x→0lim​xsin(x)​=x→0lim​1cos(x)​=cos(0)=1

因此，

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 x→0lim​xsin(x)​=1