多目标规划模型
在许多实际问题当中，衡量一个方案的好坏标准可能不只一个。比如生产某个东西的时候想要“物美价廉”——既要质量好，又要成本低。这一类问题统称为多目标最优化问题或者多目标规划问题。
多目标规划问题一般可以写成如下形式：
\[\begin{aligned} \min & f_1(x) \\ \min & f_2(x) \\ & \vdots \\ \min & f_p(x) \\ \text { s.t. } & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m \end{aligned} \]其中, \(x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)^T \in R^m, p \geq 2\)
例题1 生产计划问题
某厂生产三种布料\(A_1,A_2,A_3\)，改厂两班生产，每周生产时间为\(80h\)，能耗上限\(160t\)标准煤。其他数据如下表：
| 布料 | 生产速度(m/h) | 利润(元/m) | 每周最大销售量(m) | 能耗(t/km) |
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | 400 | 0.15 | 40000 | 1.2 |
| \(A_2\) | 510 | 0.13 | 51000 | 1.3 |
| \(A_3\) | 360 | 0.20 | 36000 | 1.4 |
问每周生产三种布料各多少米，才能使得该厂的利润最高，而能耗最少？
设该厂每周生产三种布料分别\(x_1,x_2,x_3\)小时。总利润为\(y_1=f_1(x)\)（元），总能耗为\(y_2=f_2(x)\)（吨标准煤），其中\(x=(x_1,x_2,x_3)^T\)，则上述问题的数学模型为：
\[\begin{aligned} & \min y_1=-f_1(x) \\ & \min y_2=f_2(x) \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3 \leq 80 \\ 1.2 \times 0.4 x_1+1.3 \times 0.5 x_2+1.4 \times 0.36 x_3 \leq 160 \\ 0 \leq x_1 \leq 100,0 \leq x_2 \leq 100,0 \leq x_3 \leq 100 \end{array}\right. \end{aligned} \]其中
\[\begin{align} f_1(x)&=0.15\times400x_1+0.13\times510x_2+0.2\times360x_3\\ f_2(x)&=1.2\times0.4x_1+1.3\times 0.51x_2+0.36\times 1.4x_3 \end{align} \]可以发现，多目标规划问题与以前所讲的规划问题的主要区别在于：目标函数不止一个，而是\(p\)个。\((p\ge2)\)
多目标问题的解法
多目标问题的解法大致可以分为两类：直接解法和间接解法。其中常用的多为间接解法：根据问题的实际背景和特征，设法讲多目标优化问题转化为单目标优化问题，从而得到满意的解法。
间接解法有：主要目标法，分层序列法，线性加权求和法