机器人控制系列教程之Delta机器人动力学分析

动力学简介

机器人动力学分析是已知各运动构件的尺寸参数和惯性参数的情况下，求解末端运动状态与主驱动力矩之间的函数关系。
意义：对并联机器人动力学分析的意义体现在：

1. 为伺服电机的选型提供理论依据；
2. 获得动力学参数为目标函数的最优问题做性能评价指标；
3. 为高精度控制提供基本的前提。

建模方法

在进行串联机器人的动力学分析时，我们讲过了凯恩法、拉格朗日法和牛顿-欧拉法，并对后两种方法进行了详细的阐述(详见第21讲)。而并联机器人的动力学建模相对于串联机器人较为复杂，但具体的建模过程差距不大。除此之外还有Hamliton原理法、虚功原理法等等。其中虚功原理的方法计算相对简单，效率相对较高，可以在后续的工作中加以适当的简化，进一步降低运算时间，使其满足实时控制的需要。
虚功原理法： 该方法运用到并联机器人动力学建模中较多，其主要的建模原理是：满足理想约束的刚体在系统上作用任何的平衡力，当刚体发生无穷小位移，则主动力在虚位移上做总功恒等于零。

Delta机器人雅可比矩阵

机器人机构的雅克比矩阵是一个变换矩阵，建立关节速度与操作空间速度的关系，它能够反映出机器人运动构件的能量传递。Delta机器人雅可比矩阵的数学关系式为：

通常情况下求解雅克比矩阵有微分法和矢量积法。Delta 机器人求解雅克比矩阵采用上述两种方法求解均可计算出，矢量法的求解已经在上上节讲述过，本节将采用微分法获得雅克比矩阵的解析式。由运动学建模中： ∣ B i P i ∣ = L a \left| { {B_i}{P_i}} \right| = {L_a} ∣Bi​Pi​∣=La​

[ ( R − r + L a cos ⁡ θ i ) cos ⁡ η i − x ] 2 + [ ( R − r + L a cos ⁡ θ i ) sin ⁡ η i − y ] 2 + ( L a sin ⁡ θ i + z ) 2 = L b 2 {\left[ {\left( {R - r + {L_a}\cos {\theta _i}} \right)\cos {\eta _i} - x} \right]^2} + {\left[ {\left( {R - r + {L_a}\cos {\theta _i}} \right)\sin {\eta _i} - y} \right]^2} + {\left( { {L_a}\sin {\theta _i} + z} \right)^2} = L_b^2 [(R−r+La​cosθi​)cosηi​−x]2+[(R−r+La​cosθi​)sinηi​−y]2+(La​sinθi​+z)2=Lb2​

将上式转化成隐式方程 f ( i ) f\left( i \right) f(i)，i=1、2、3，对其求微分可得：

Delta机器人质量惯性矩阵

机器人的质量惯性矩阵可由机构的动能来获取，如某一刚体的动能和多刚体的动能可表示为：

T i = 1 2 ( m i v i T v i + ω i T I i ω i ) ⇒ T = ∑ i = 1 n T i {T_i} = {1 \over 2}\left( { {m_i}v_i^T{v_i} + \omega _i^T{I_i}{\omega _i}} \right) \Rightarrow T = \sum\limits_{i = 1}^n { {T_i}} Ti​=21​(mi​viT​vi​