复旦大学数学学院 23 级本科生对高等代数课程的评价

23级  洪临依

感谢谢老师的邀请！我在大一一年修读了谢老师的高等代数Ⅰ、Ⅱ，收获颇丰。

谢老师的高等代数课程采用线上线下混合式教学。除了学校安排的线下正课和习题课，谢老师的正课录像都可以在B站上看到，内容全面，如果有没听懂没跟上的部分或者错过了线下课，我都会在课后重新观看，补全笔记。

同时，习题课也有对应的线上教学视频，是白皮书的内容。周一下午为线下习题课。第一节课由习题课老师讲评作业中的常见错误，帮助同学们理解难点和易错点。第二节课是同学们完成习题卷，并且有机会上台解题，展示自己的思路和方法。老师会对上台解题的过程进行点评，并给予进一步的指导。每周末老师会布置白皮书阅读或者习题课教学视频的任务，而周一的习题课练习卷内容与之相对应，可以有规划地进行高代的学习，使得习题和正课内容同步，相辅相成。本学期的练习卷证明题的难度梯度也很合适，前3-4题为基础计算，后面的证明都是对应白皮书的推广，压轴1-2题会有点难度，但老师会提示方法，帮助我们更好地掌握白皮书上方法的使用。我个人的习惯是先自己阅读白皮书，再看教学视频最后的习题，周一习题课的练习卷可能会有一两题做不出，再查看微信群里同学的分享的解答。

而我学习高代花费最多精力的就是看白皮书了。第四版白皮书对高等代数中的各类习题进行了系统的梳理，并且收录了部分往届的每周一题，更加全面。白皮书的特点是编排很有逻辑且涵盖的知识点很丰富。白皮书针对每一节的基本知识点做出一些推广，从编排上，一般会通过一道或几道例题证明一个结论或常用方法，再配着几道由简单到复杂的例题，帮助我们逐渐熟练掌握该方法的不同应用。在每一节的最后，常有涉及整节知识的较复杂的例题，有些是每周一题或历届考试真题。思考这些例题可以很好地检验自己对这节知识的掌握情况，即使做不出来，重新看一遍解答，学习这些例题的思路也能很好地提升高代水平。有些例题还会附有文字注释，帮助我们更好地理解例题背后的思路（比如几何意义），而不是单纯地记住一道题的解法。

白皮书还有一个很好的设计，会经常在后续的篇章中出现前期的题目，但提供不同的解法。比起换新题来讲解新知识点，用新方法更快地解决以前的问题更能凸显出提出新方法的价值。有时候用最基本的方法可能需要很复杂的过程或者很强的技巧性才能解决问题，但用新方法就会发现思路是很明确的，即使没有很强的灵感或者注意力也能做出来（比如强有力Jordan标准型方法）。慢慢掌握更多的高代知识就会发现高观点的很多方法可以替代很多技巧性。同时，不同方法也可以帮助我们拓展思路，从不同角度分析问题（比如几何方法和代数方法），体会不同方法的优劣。对我来说，看白皮书第一遍是做例题+看解答，第二遍看的时候才能去感受例题之间的关系以及背后的思想。

无论是线上线下的混合式教学，还是从绿皮书到白皮书的梯度设置，都能看出谢老师的高等代数课程照顾到了班上（甚至班外）的所有学生。线下课不方便的完全可以线上学习；不擅长高代的同学也能一步一步从课本走向白皮书，慢慢感受高等代数的美；而学有余力的同学也有充足的资源，习题集中的每周一题和历届考试压轴可以让他们努力钻研，尽情发挥。

非常幸运能受到谢老师一年的栽培，感谢老师的辛勤付出！希望谢老师的高等代数课程能越来越好，影响更多学弟学妹。祝谢老师事业顺利，桃李满天下！

23级  徐亦闵

很荣幸能被邀请来撰写高等代数课程的学习体悟。谢老师不仅为我们提供了富有活力的课堂与细心的课后答疑，也在疫情期间完成了线上线下混合式教学的课程改革，为高等代数课程建设倾尽了心血。

高等代数混合式教学，线上资料包括正课在易班的录像（哔哩哔哩上也有）、习题课教学视频（哔哩哔哩）、以及谢启鸿高等代数博客（高等代数习题集）。其中，正课可供同学们预习、复习或自由学习，是非常好的材料（再也不用担心生病缺课了）；习题课教学视频则是将白皮书的内容鲜活地展现出来，并会加入一些额外的讲解与习题，如“不变量”分类思想以及与相似标准型相关的高级代数方法（高代 2 第 12 讲 矩阵相似的全系不变量），这些内容可能由于篇幅所限无法写入白皮书，但的确能打通知识体系，升华数学思想；高等代数习题集可以用来检验课本与白皮书的掌握程度，也是考试的宝贵复习资料，供学有余力的同学完成。

《高等代数》（白皮书）第四版可以说是囊括了高等代数这门课程中非常非常多的常见结论与习题，是教材《高等代数学》（绿皮书）的学习指导书。每章的开头是知识点总结，然后是例题，最后还会附上本章练习题。这本书的一大特点是交叉引用，习题之间有承接顺序。前一题的结论会用在下一题的证明中，后面几章的证明会用到前面几章的已知结论，这让高等代数的学习过程贯通起来。对于后面的一道大题目，可能需要证明多个引理，它们往往会分散在不同的章节。所以初学者学习过程中有时会出现“不知道这道题放在这里是为什么”的情况。这时如果可以往后翻翻，指出这个结论可能在证明另一结论时有用，可能会掌握得更好。值得一提的是，这本书就像一本“题典”，许多研究生考试的题目都可以引用白皮书中的结论与方法快速解决。

教材《高等代数学》（绿皮书）在内容设置与安排上与其他数学专业教材或工科专业教材也有不同之处。例如，每章末尾的历史与展望可以让同学们感受到这些知识是如何从最初的样子变为比较成熟的理论，还是比较有意思的。又例如，整本书从 第 4.3 节 线性映射与矩阵 开始，后续章节中会在灵活使用几何语言或代数/矩阵语言进行叙述，如不变子空间、Jordan 标准型（更多几何形式会在白皮书中讲述）、内积空间（这一章基本都是几何语言）等等。他也鼓励学生根据自己的喜好，选取不同的教材作为参考。

另外，谢老师自己也提到，他认为自己的教材还可以提供更多实际生活中的应用，如奇异值分解在图像处理方面的应用，他也已经在课堂上给我们介绍了。这些知识想必会拓宽同学们的视野，增长大家学习理论知识的热情。

希望高等代数课程越来越好！

23级  文俊

很幸运大一两学期都选上了谢帅的高等代数课程。在谢老师独特的高等代数课程体系中，我逐渐对高等代数这门数学基础课程有了深入的理解与体悟。

首先是上学期进行的每周一题活动。谢老师每周会在课群中发布一道与本周所学内容相关的题目供同学们解答参考，属于拔尖性的难题。在刚刚开始高代学习时，我对于这些题目有点望而却步。但在我仔细钻研了白皮书后，发现这些问题实际是对白皮书内容的精华提炼与拓展延伸，其中蕴含着不少经典的思想方法。有些题目可能并不需要多么高深的代数知识，而需要我们突破惯性思维，换一个视角看问题。不仅如此，每周一题也是同学们交流分享的平台。同学们会在评论区内发表自己多样的解题思路，谢帅会逐一批改后将优秀解答挑选出来分享给大家，多种思路百花齐放。然而遗憾的是，每周一题活动在上学期结束了，但是过去的每周一题（也就是高等代数习题集）仍然是辅助高代学习的优秀材料。

其次是作为辅助学习材料的第四版白皮书。白皮书的内容非常丰富，常读常新。毫不夸张的说，白皮书贯穿了我高代学习的始终，将我所学的知识串联起来，形成一个有机整体。如果说教材里是基础的概念与定理的话，那么白皮书就是对这些定理的融会贯通。白皮书中的很多小节与题目本身就是强大的结论，以至于每周一习题课上的很多题目只需“引用白皮书例XX即可”，比如同时对角化、Kronecker积等等。此外，几何与代数的融合，在白皮书中体现得淋漓尽致。在线性空间这一章中，白皮书运用线性同构巧妙地转换看问题的视角，在几何的线性映射与代数的表示矩阵间灵活转换，为学习后续的内容提供了更广阔的视角。又如相似标准型这一章中，在教材介绍了有理标准型与Jordan标准型的代数层面后，白皮书补充了它们的几何意义即循环子空间的直和分解，使我对其有了更加深刻的认识。对相同的题目，白皮书在不同的章节也会给出不同的解答，可能之前做起来很复杂的题目，在后续工具的帮助下，就能游刃有余地解决。比如第二章的一个解答题中出现了一个式子，如果将其看成Frobenius内积，即,就能在内积空间这一工具下轻松解决。另外，白皮书的编排逻辑非常清晰，贴合教材，方便同学们在一周的学习后加以巩固练习。

最后是谢帅高代的线上线下混合式教学，线下的正课部分，谢帅黑板上工整的板书给我留下了非常深刻的印象，每一个定理都有着清晰的编号与证明。线上的习题课教学视频也让我受益匪浅。每周正课结束后，谢老师会在群里布置习题课视频学习任务。在习题课教学视频里，谢老师有对白皮书解析中困难的点加以阐释，在遇到白皮书不懂的地方时可以参考思考。在视频最后也有几道相关的练习题，可以作为读完白皮书的练手题。另外，线上的正课教学视频也对我的高代学习起了重要作用。由于身体原因，我上学期有两个月没能在线下进行学习，是谢老师录制的线上正课视频帮助我跟上了班级学习进度。线上线下的混合式教学方式优势互补，线下教学是学习基础知识的根本途径，线上的习题课教学视频则是对一周学习的巩固与总结，两者都在我的高代学习中起着不可分割的作用。

总而言之，谢老师的高等代数课程激发了我继续学习代数学的兴趣，在一系列配套学习资料中，我也领略到了代数的巧妙与优美。最后，衷心感谢谢帅一年来的辛苦付出与悉心教导，祝愿谢帅身体健康、科研顺利，桃李满天下！

23级  施想

本次课程主要以谢启鸿，姚慕生编著的《高等代数学》为课程基本参考教材，两学期覆盖了从第一章行列式到第十章双线性型的内容。在基础教材教授部分，谢启鸿老师详细从几何和代数学两个角度介绍了各种定理的证明方法，并结合部分课后习题强调了计算方法与常见证明技巧。在此基础上，谢启鸿老师还补充了许多定理的应用部分，比如奇异值分解在图像压缩中的应用，让学生对书本上的抽象定义和定理有了更加直观的理解，并拓展了学生的视野。这种理论与应用的混合式教学，基于课本，高于课本，对立志于理论研究或是应用的学生都有极大帮助。

课后方面，谢启鸿老师因材施教，罗列了几个不同学习路径与参考书目，为不同学习目标的同学提供了符合各自情况的学习方法。课后自学方面主要是包括习题课教学视频和谢启鸿，姚慕生编著的《高等代数》，即白皮书。每周五，谢启鸿老师都会在教学微信群里总结本周的教学内容，并且给出本周末需要看的对应习题课教学视频篇目或是高等代数白皮书章节。二者是相对应的，以便不同倾向的同学选择视频或是实体书学习方法。需要看的篇目一般分为两个部分，即每个人必看的必修内容和学有余力所自学的章节。必修内容通常是本周学习内容的拓展和深入，其余本分则可能是通过另一种视角重述学习过的定理，都对学习内容的理解上有很大帮助。谢启鸿老师将自学内容分为两个部分，将学习的主动权归还给学生，保证授课质量的同时，更有利于学生结合自身情况作学习。

而在习题课方面，谢启鸿老师也有精心安排。习题课采用混合式教学的方式，分为习题课老师主讲和学生主讲两个部分。课程开始会由习题课老师讲解上周所有课后习题，主要反馈主教批改作业的时候发现的常见错误，并会系统性将上周的知识点重新复习一遍。在此之后，习题课老师会下发由谢启鸿老师出的习题课习题，一般是一张卷子，上面的题目考察上周周末自学的内容，从计算题到证明题。每道证明题下方会有提示，以及证明中应用到的内容对应的习题课教学视频或白皮书章节。老师会先预留一个小时多的时间给学生们自己做题，并且在做提前指定学生做相应的题目。做题名单是轮着点名的，保证每个人都有做题的机会。在学生上黑板将题目的时候，老师会坐在下面听，并且及时指出学生的差错。当学生使用的方法与老师不一致时，老师也会将自己的方法作为补充。这样的混合式教学有利于加强学生的证明书写格式以及表达能力，让学生的高等代数基础更加扎实。端午节放假期间，有一节习题课被冲掉，谢启鸿老师还是十分负责的发放了习题课试卷，并且在微信群里对每道题的出处和证明思路做了详细的解答。

在期中期末考试前期，谢启鸿老师会在微信群里讲解考试的范围与重点，并汇总成pdf文件，供同学参考，并着重强调对计算题的重视。在考试周老师还会安排线下或者线上的答疑，无论是办公室答疑还是腾讯会议答疑，谢老师都尽心尽力回答每一个同学的疑问。

总而言之，在这一年的高等数学教学中，谢启鸿老师几乎全程知道学生们的学习，通过线上线下混合式教学的方法，为学生们的高等代数打下坚实的基础。

22级转专业  王龙晨

我是通过转专业进入数院的，非常感谢谢老师的高等代数线上线下混合式教学，能让我在转进数院后相对灵活地调整时间，正常完成高代课程的修读。

每周的习题课混合式教学是谢老师高代课程的特点之一。由于正课课时的限制，高代中的很多方法以及相关应用老师没有办法在正课上完全展开，而每周末线上学习习题课视频就是一个进一步理解本周学习内容的机会。白皮书上的内容相较于教材更加深入，我在读一些章节时有时会感觉吃力，有时则困惑于一些想法的来源，而谢老师在视频中的讲解能解答我的很多疑惑。参与线下习题课并上台讲解证明题的思路则可以与同学们及习题课老师交流想法，相较于自己看白皮书理解会更深刻一些。

高代习题课的教学与高代白皮书是紧密相关的。在大一暑假的时候，我就学习了白皮书的部分内容。而正式开始高代课程的学习后，我也会在习题课视频学习以及复习备考的时候仔细翻阅一些章节。第四版的高代白皮书加入了部分往年的每周一题，内容更加丰富。相较于第三版，第四版白皮书根据内容和方法分出一些节，整体层次分明，并且部分例题的解法更加多样，例如部分第八章的合同相关问题可以利用正交相似标准型理论给出相对简洁的证明，又比如一些问题可以从代数和几何两个角度给出不同的解答。此外，白皮书也对教材内容有一定的补充，如教材是采用代数方法得出了Jordan标准型，而白皮书介绍了Jordan标准型的几何构造和几何意义，可以在几何上对Jordan标准型有一个新的理解。乘法交换性诱导的同时性质、正定阵和半正定阵的性质、同时合同对角化和同时合同标准化等内容则大大拓宽了解题的手段，对于实际解题以及数学竞赛的准备有不小的帮助。在我看来，读白皮书不仅是为了掌握解题技巧，在书中还能看到一些更深刻的思想以及高代的许多应用。

每周一题也是谢老师高代课程的一大特色。每周一题的题目通常与最近一周学习内容相关，具有相当的挑战性。尽管课程相对比较繁重，我还是坚持基本全程参与了高代I的每周一题活动。在思考这些问题的时候，我会将最近所学的内容梳理一遍并从各个角度去尝试。此外，每周一题中的很多问题都有不同的解法，同学们不同的方法也在指引我们去关联不同的知识。

得益于这一年高等代数的学习，我开始对代数学研究问题的思路有了一定的理解。尽管我目前所学只是很小的一部分，对很多问题的理解也比较粗浅，但是我也能窥见高代和抽象代数等一些后续课程之间紧密的关联。可以说谢老师高等代数的教学，不仅让我相对顺利地过渡到大学数学的学习中，也让我开始理解一些理论体系的建立和完善的过程。总之非常感谢老师一年以来的付出，祝老师身体健康，工作顺利！