有理函数的分解
有理函数是指两个多项式的商所构成的函数:
\((0.0.0)\)
其中 \(m,n\) 为非负整数
\(a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}; \enspace b_{0}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}\) 均为实数
\(a_{0} \ne 0, b_{0} \ne 0\)
当\(m\ge n\)时，式子\(0.0.0\)被称为真分式； 当\(m\le n\)时， 式子\(0.0.0\)被称为假分式。
为了求有理函数的不定积分，需要对有理函数进行分解，将有理数分解为多项式和部分简单真分式的代数和。
First
任一假分式，总能化为一个多项式和一个真分式的和
例题 1
1-01
加零裂项
\[\begin{eqnarray} \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2 x+3} \\ \\ \text { 设 } \enspace {x^{2}-2x+3}=M \\ \\ \text {对} x^{3} \text {转化为类似}M\text {的形式} \\ \\ \frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}+3 x-3 x+1}{M} \\ \\ \frac{x^{3}-2 x^{2}+3 x+2 x^{2}-3 x+1}{M} \\ \\ \frac{x\left(x^{2}-2 x+3\right)}{M}+\frac{2 x^{2}-3 x+1}{M} \\ \\ \text {对} 2x^{2} \text {转化为类似}M\text {的形式} \\ \\ x+\frac{2 x^{2}-4 x+4 x+6-6-3 x+1}{M} \\ \\ x+\frac{2\left(x^{2}-2 x+3\right)}{M} + \frac{4x-6-3x+1}{M} \\ \\ x+2+\frac{x}{M}+\frac{5}{M} \\ \\ x+2+\frac{x}{{x^{2}-2x+3}}+\frac{5}{{x^{2}-2x+3}} \end{eqnarray} \]1-02
将分子化成分母与其他因子的乘积，再分解有理函数
\[\begin{eqnarray} \frac{x^{3}+x+x^{2}+2}{x^{2}+1} \\ \\ \frac{x^{3}+x+x^{2}+2}{x^{2}+1} \\ \\ \frac{x\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+1}{x^{2}+1} \\ \\ \frac{x\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1} \\ \\ x+1+\frac{1}{x^{2}+1} \end{eqnarray} \]Second
任一真分式，总能化为部分简单真分式的和
简单真分式：分母只含有一次因式，或者二次质因式的正整数次幂，
即分母只含有因式\((x-a)^{k}\), 或 \((x^{2}+px+q)^{l}\)的真分式
(其中\(k，l\)均为正整数； \(a,p,q\) 均为实数； \(p^{2}-4q<0\))
现在设\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)为真分式，分解方法如下：
First
如果 \({Q(x)}\) 含有因式 \((x-a)^{k}\) , 则 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的分解式之中，对应地含有以下 \(k\) 个部分简单真分式的和：
\[\frac{A_{1}}{(x-a)^{k}}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{k-1}}+...+\frac{A_{k}}{(x-a)} \]其中\(A_{i}(i=1,2,...,k)\)为待定常数，可用待定系数法或其他方法来确定
Second
如果 \({Q(x)}\) 含有因式 \((x^{2}+px+q)^{k}\) , 则 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的分解式之中，对应地含有以下 \(k\) 个部分简单真分式的和：
\[\frac{M_{1}x+N_{1}}{(x^{2}+px+q)^{k}} + \frac{M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+px+q)^{k-1}} + ... + \frac{M_{k}x+N_{k}}{(x^{2}+px+q)} \]其中\(M_{i},N_{i}(i=1,2,...,k)\)为待定常数，可用待定系数法或其他方法来确定
例题 2
2-01
\[\begin{eqnarray} \frac{x+3}{x^{2}-5x+6} \\ \\ 因式分解: \quad x^{2}-5 x+6 \\ \\ 根据公式: \enspace (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \\ \\ a b=6, \quad a+b=-5 \\ \\ \pm 1 \cdot \pm 6=a b=6 \\ \\ \pm 2 \cdot \pm 3=a b=6 \\ \\ 因为只有: \enspace -2 \cdot-3=a b=6 \\ \\ 同时满足: \\ \\ -2-3=a+b=-5 \\ \\ \therefore x^{2}+5 x+6=(x-2)(x-3) \\ \\ \frac{x+3}{x^{2}-5x+6}=\frac{x+3}{(x-2)(x-3)} \\ \\ \frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}+\frac{3}{(x-2)(x-3)} \\ \\ 创建2个变量A和B, \enspace 使得: \\ \\ \frac{x}{(x-2)(x-3)}+\frac{3}{(x-2)(x-3)}= \frac{A(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac{B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \\ \\ \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-3)} \\ \\ 进而可得如下: \\ \\ A(x-3)+B(x-2)=x+3 \\ \\ A x-3 A+B x+2 B=x+3 \\ \\ A x+B x-3 A-2 B=x+3 \\ \\ \left\{\begin{array}{l} A x+B x=(A+B) x=x \\ \\ -3 A-2 B=3 \end{array}\right. \\ \\ \therefore A+B=1, \quad B=1-A \\ \\ -3 A-2(1-A)=3 \\ \\ -3 A-2+2 A=3 \\ \\ -A-2=3 \\ \\ -A=5, \quad A=-5 , \quad B=6 \\ \\ \Rightarrow \frac{-5}{x-2}+\frac{6}{x-3} \end{eqnarray} \]2-02
\[\begin{align} \frac{1}{(2+5x)(x^{2}+3)} \\ \\ \frac{A(x^{2}+3)}{(2+5x)(x^{2}+3)}+\frac{(Mx+N)(2+5x)}{(x^{2}+3)(2+5x)}= \frac{A}{2+5x}+\frac{Mx+N}{x^{2}+3} \\ \\ A(x^{2}+3)+(Mx+N)(2+5x)=1 \\ \\ x^{2}(A+5M)+x(2M+5N)+ (3A+2N) = 1 \\ \\ \begin{aligned} \begin{cases} A+5M=0 \\ \\ 2M+5N=0 \\ \\ 3A+2N=1 \end{cases} \end{aligned} \\ \\ A=-5M, \enspace 2M=-5N \\ \\ M=-\frac{5}{2}N, \enspace A=\frac{25}{2}N \\ \\ 3\cdot\frac{25}{2}N+2N=1, \enspace N=\frac{2}{79} \\ \\ A=\frac{25}{79}, \enspace M=-\frac{5}{79} \\ \\ \Rightarrow\frac{\frac{25}{79}}{2+5x}+\frac{-\frac{5}{79}x+\frac{2}{79}}{x^{2}+3} \end{align} \]有理函数的不定积分
求有理函数的不定积分，首先要将假分式化为多项式和真分式之和(若有理函数业已是真分式，省略此步骤)
其次，将真分式化为简单真分式的代数和
最后,求解多项式和简单真分式的不定积分
进而求得有理函数的不定积分
例题
可化为有理函数的不定积分
有些不定积分，虽然被积函数不是有理函数，但通过适当的变量代换，可化为有理函数，从而运用有理函数的求解方法求得积分。
例题3
\[\begin{align} \int{\frac{\sqrt{x-1}}{x}}dx=? \\ \\ 设: \enspace \sqrt{x-1}=t, \enspace x=1+t^{2} \\ \\ \int\frac{t}{1+t^{2}}d(1+t^{2}) \\ \\ dx=d(1+t^{2})=dt\cdot(1+t^{2})^{\prime} \\ \\ dx=2tdt \\ \\ \int\frac{t}{1+t^{2}}\cdot2tdt=2\int\frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt \\ \\ 2\int\frac{t^{2}+1-1}{1+t^{2}}dt\Rightarrow2\int\left(1-\frac{1}{1+t^{2}}\right)dt \\ \\ 2\int dt-2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt \\ \\ 2\int dt=2t+C \\ \\ 根据援引来源01: \\ 2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt=2\arctan\left(t\right)+C \\ \\ 2\left[t-\arctan\left(t\right)\right]+C \\ \\ 2\left[(\sqrt{x-1})-\arctan\left(\sqrt{x-1}\right)\right]+C \end{align} \]如果被积函数是 \(\sin x\), \(\cos x\), 以及，常数经过有限次四则运算所构成的函数，
则可变换 \(u=\tan \frac{x}{2}\), 将被积函数化为变量 \(u\) 的有理函数：
\[\begin{eqnarray} \sin (x)=\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^{2}(\frac{x}{2})}=\frac{2u}{1+u^{2}} \\ \\ \cos(x)=\frac{ 1-\tan^{2}(\frac{x}{2}) }{ 1+\tan^{2}(\frac{x}{2}) } =\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}} \end{eqnarray} \]且由 \(x = 2\arctan u\), 得 \(dx=\frac{2}{1+u^{2}} du\), 通过求解关于 \(u\) 的有理函数的不定积分，从而求得题目要求的不定积分
例题4
需要说明的是：尽管初等函数在其定义域上是连续的，其原函数一定存在，但其原函数不一定是初等函数，例如：
\[\begin{array}{c} \int e^{-x^{2}} dx \\ \\ \int \frac{\sin x}{x} dx \\ \\ \int \frac{1}{\ln{x}} dx \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}} dx \end{array} \]等都不是初等函数
标签：enspace,frac,int,不定积分,真分式,有理函数 From： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18239037