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不定积分的基本性质

时间:2024-05-01 23:34:21浏览次数:22  
标签:基本 int 0.0 不定积分 dx quad 性质 pm

不定积分有如下两个基本性质


property 1

两个函数之和(差)的不定积分,等于这两个函数不定积分的和(差),即:

\[\int [f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx, \quad \quad \quad (0.0) \]

要证明式子(0.0)成立,首先要证明式子(0.0)右侧是左侧被积函数\(f(x)\pm g(x)\)的原函数,
为此将式子(0.0)右侧对\(x\)求导,得:

\[\begin{align} [\int f(x)dx \pm \int g(x)dx]'=[\int f(x)dx]'\pm[\int g(x)dx]' \\ \\ [F(x)+C]'\pm[G(x)+C]'=F'(x)\pm G'(x) \\ \\ \because F(x) 是f(x)的原函数, \enspace 即: \enspace F'(x) = f(x) \\ G(x)同理也是 \\ \\ \therefore F'(x)\pm G'(x)=f(x)\pm g(x) \\ \\ \because [\int f(x)dx \pm \int g(x)dx]' = f(x)\pm g(x) \\ \therefore \int f(x)dx \pm \int g(x)dx 是 [f(x)\pm g(x)] 的原函数 \\ \\ 即: \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx \\ 证明成立 \end{align} \]


property 2

被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面,即:

\[ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx, \quad (k为常数,且k\ne 0) \]


标签:基本,int,0.0,不定积分,dx,quad,性质,pm
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