随机波动率下的衍生品定价（一）
文章目录
考虑到期日为 T T T 的欧式期权，记其 t t t 时刻底层资产价格为 S S S 时的价格为 P ( t , S ) P(t,S) P(t,S)，注意这里由于行权价格 K K K 固定，且对后续推导暂无影响，因此我们隐去并未提起。记 T T T 时刻的收益函数为 f ( S T ) f(S_T) f(ST).
1 价格-波动率方程
1.1 历史波动率—>价格
condition 1： P ( T , S ) = f ( S ) P(T,S)=f(S) P(T,S)=f(S)
condition 2：
t
t
t 时刻售出期权，买入
Δ
=
d
P
d
S
(
t
,
S
)
\Delta=\dfrac{dP}{dS}(t,S)
Δ=dSdP(t,S) 份的底层资产作 delta 对冲（在后续的过程中会表明，delta 对冲的作用是为了消除
S
S
S 变动方向对收益的影响），并在
t
+
δ
t
t+\delta t
t+δt 时刻将期权买回，底层资产售出。计算收益（Profit and Loss, P&L）为
P
&
L
=
P
(
t
,
S
)
−
P
(
t
+
δ
t
,
S
+
δ
S
)
+
r
P
(
t
,
S
)
δ
t
+
Δ
(
−
S
−
r
S
δ
t
+
q
S
δ
t
+
S
+
δ
S
)
=
−
[
P
(
t
+
δ
t
,
S
+
δ
S
)
−
P
(
t
,
S
)
]
+
r
P
(
t
,
S
)
δ
t
+
Δ
(
δ
S
−
r
S
δ
t
+
q
S
δ
t
)
\begin{align*} P\&L=&P(t,S)-P(t+\delta t,S+\delta S)+rP(t,S)\delta t\\ &+\Delta(-S-rS\delta t+qS\delta t+S+\delta S)\\ =&-[P(t+\delta t,S+\delta S)-P(t,S)]+rP(t,S)\delta t+\Delta(\delta S-rS\delta t+qS\delta t) \end{align*}
P&L==P(t,S)−P(t+δt,S+δS)+rP(t,S)δt+Δ(−S−rSδt+qSδt+S+δS)−[P(t+δt,S+δS)−P(t,S)]+rP(t,S)δt+Δ(δS−rSδt+qSδt)
根据已有的对价格过程的认知，我们知道
δ
S
2
\delta S^2
δS2 与
δ
t
\sqrt{\delta t}
δt
同阶，因此对上式进行 Taylor 展开，并保留到
δ
t
\delta t
δt 阶的结果为：
P
&
L
=
−
[
d
P
d
t
δ
t
+
d
P
d
S
δ
S
+
1
2
d
2
P
d
S
2
(
δ
S
)
2
]
+
r
P
δ
t
+
d
P
d
S
(
δ
S
−
r
S
δ
t
+
q
S
δ
t
)
=
−
(
d
P
d
t
−
r
P
+
(
r
−
q
)
S
d
P
d
S
)
δ
t
−
1
2
S
2
d
2
P
d
S
2
(
δ
S
S
)
2
:
=
−
A
(
t
,
S
)
δ
t
−
B
(
t
,
S
)
(
δ
S
S
)
2
\begin{align} P\& L&=-[\dfrac{dP}{dt}\delta t+\dfrac{dP}{dS}\delta S+\dfrac{1}{2}\dfrac{d^2P}{dS^2}(\delta S)^2]+rP\delta t+\dfrac{dP}{dS}(\delta S-rS\delta t+qS\delta t)\\ &=-(\dfrac{dP}{dt}-rP+(r-q)S\dfrac{dP}{dS})\delta t-\dfrac{1}{2}S^2\dfrac{d^2P}{dS^2}\left(\dfrac{\delta S}{S}\right)^2\\ &:=-A(t,S)\delta t-B(t,S)\left(\dfrac{\delta S}{S}\right)^2\tag{1} \end{align}
P&L=−[dtdPδt+dSdPδS+21dS2d2P(δS)2]+rPδt+dSdP(δS−rSδt+qSδt)=−(dtdP−rP+(r−q)SdSdP)δt−21S2dS2d2P(SδS)2:=−A(t,S)δt−B(t,S)(SδS)2(1)
（此时右式已经初具我们熟悉的模样）我们继续推导的依据是，如果期权定价是合理的，此次操作不应当有无风险套利的空间。
由于 A ( t , S ) A(t,S) A(t,S) 和 B ( t , S ) B(t,S) B(t,S) 同号会造成 P & L P\&L P&L 恒正或恒负，都存在无风险套利的机会，因此 A ( t , S ) A(t,S) A(t,S) 和 B ( t , S ) B(t,S) B(t,S) 应当异号。虽然我们无法令 P & L = 0 P\&L=0 P&L=0，因为 A ( t , S ) δ t A(t,S)\delta t A(t,S)δt 为确定项，但 B ( t , S ) ( δ S S ) 2 B(t,S)\left(\dfrac{\delta S}{S}\right)^2 B(t,S)(SδS)2 为不确定项，但在金融市场中我们早就习惯用期望收益去衡量价值，因此我们也只需要期望 E ( P & L ) = 0 E(P\&L)=0 E(P&L)=0.
给定时间序列，用历史波动率来近似
(
δ
S
S
)
2
\left(\dfrac{\delta S}{S}\right)^2
(SδS)2，记作
⟨
δ
S
S
⟩
=
σ
^
2
δ
t
\langle\dfrac{\delta S}{S}\rangle=\hat{\sigma}^2\delta t
⟨SδS⟩=σ^2δt，在此基础上，给出了对
A
,
B
A, B
A,B 的约束：
A
(
t
,
S
)
=
−
σ
^
2
B
(
t
,
S
)
,
∀
S
,
∀
t
A(t,S)=-\hat{\sigma}^2B(t,S),\forall S,\forall t
A(t,S)=−σ^2B(t,S),∀S,∀t. 分别将
A
,
B
A,B
A,B 代入即有
d
P
d
t
−
r
P
+
(
r
−
q
)
S
d
P
d
S
=
−
σ
^
2
2
S
2
d
2
P
d
S
2
\begin{align} \dfrac{dP}{dt}-rP+(r-q)S\dfrac{dP}{dS}=-\dfrac{\hat{\sigma}^2}{2}S^2\dfrac{d^2P}{dS^2}\tag{2} \end{align}
dtdP−rP+(r−q)SdSdP=−2σ^2S2dS2d2P(2)
事实上，这也是 BS 微分方程，只不过在 BS 模型假设下，方程中的
σ
^
2
\hat{\sigma}^2
σ^2 为常数。我们在上述过程中其实也暗含了 BS 模型除常数方差外的其它假设（例如
S
S
S 服从 Gauss 过程以保证我们对
δ
S
\delta S
δS 和
δ
t
\delta t
δt 的阶数假设是对的），当然这也正是我们的目的，抛开常方差假设，仍能得到同样的方程。以上方程意味着，若期权被准确定价，则其价格应当服从该方程，那么进一步我们可以得到
P
&
L
P\&L
P&L 更有指示性的表达式：
P
&
L
=
−
S
2
2
d
2
P
d
S
2
(
δ
S
2
S
2
−
σ
^
2
δ
t
)
P\&L=-\dfrac{S^2}{2}\dfrac{d^2P}{dS^2}\left(\dfrac{\delta S^2}{S^2}-\hat{\sigma}^2\delta t\right)
P&L=−2S2dS2d2P(S2δS2−σ^2δt)
这说明我们可以根据收益率和历史波动率的相对大小计算盈亏。
1.2 价格—>隐含波动率
仍然考虑方程（2），刚刚我们用估计的历史波动率近似了 σ ^ 2 \hat{\sigma}^2 σ^2，并据此给出了期权价格满足的方程，进一步给出了 P & L P\&L P&L 的计算公式。另一方面，根据市场上已有的期权价格信息（即已知 P ( t , S ) P(t,S) P(t,S)），我们可以通过方程（2）解出 σ ^ 2 \hat{\sigma}^2 σ^2，这被称为隐含波动率。
2 高维情形
如果考虑多个底层资产组合的价格
P
(
t
,
S
1
,
⋯
,
S
n
)
P(t,S_1,\cdots, S_n)
P(t,S1,⋯,Sn)，我们仍然对其作式（1）类似的高维 Taylor 展开，得到
P
&
L
=
−
A
(
t
,
S
)
δ
t
−
1
2
∑
i
,
j
ϕ
i
j
(
t
,
S
)
δ
S
i
S
i
δ
S
j
S
j
,
ϕ
i
j
=
S
i
S
j
d
2
P
d
S
i
d
S
j
P\&L=-A(t,S)\delta t-\dfrac{1}{2}\sum_{i,j}\phi_{ij}(t,S)\dfrac{\delta S_i}{S_i}\dfrac{\delta S_j}{S_j},\quad \phi_{ij}=S_iS_j\dfrac{d^2P}{dS_idS_j}
P&L=−A(t,S)δt−21i,j∑ϕij(t,S)SiδSiSjδSj,ϕij=SiSjdSidSjd2P
为得到与一维情形类似的形式（我们希望不存在交叉项，以避免
S
i
S_i
Si 的变化方向对收益造成的影响），对“协方差阵”向特征向量空间作正交分解，记
ϕ
=
(
ϕ
i
j
)
n
×
n
\phi=(\phi_{ij})_{n\times n}
ϕ=(ϕij)n×n，
U
=
(
δ
S
i
S
i
)
n
×
1
U=(\dfrac{\delta S_i}{S_i})_{n\times1}
U=(SiδSi)n×1，即有
∑
i
,
j
ϕ
i
j
δ
S
i
S
i
δ
S
j
S
j
=
U
T
ϕ
U
=
U
T
V
Λ
V
T
U
\sum_{i,j}\phi_{ij}\dfrac{\delta S_i}{S_i}\dfrac{\delta S_j}{S_j}=U^T\phi U=U^TV\Lambda V^TU
i,j∑ϕijSiδSiSjδSj=UTϕU=UTVΛVTU
其中
V
=
(
v
1
,
⋯
,
v
n
)
V=(v_1,\cdots,v_n)
V=(v1,⋯,vn) 为特征向量构成的矩阵，
Λ
=
d
i
a
g
(
λ
i
)
\Lambda=diag(\lambda_i)
Λ=diag(λi) 为特征值对角阵。则记
δ
z
k
=
v
k
T
U
\delta z_k=v_k^TU
δzk=vkTU，有
∑
i
,
j
ϕ
i
j
δ
S
i
S
i
δ
S
j
S
j
=
∑
k
λ
k
δ
z
k
2
\sum_{i,j}\phi_{ij}\dfrac{\delta S_i}{S_i}\dfrac{\delta S_j}{S_j}=\sum_{k}\lambda_k\delta z_k^2
i,j∑ϕijSiδSiSjδSj=k∑λkδzk2
类似方程（2），我们能够分别针对
δ
z
k
\delta z_k
δzk 的期望值得到一组关于
A
A
A 的方程，并存在
n
n
n 个正常数
ω
k
\omega_k
ωk（
δ
z
k
\delta z_k
δzk 的历史波动率），使得
A
=
−
1
2
∑
k
λ
k
ω
k
A=-\dfrac{1}{2}\sum_k\lambda_k\omega_k
A=−21k∑λkωk
则
P
&
L
=
−
1
2
∑
k
λ
k
(
δ
z
k
2
−
ω
k
δ
t
)
.
P\&L=-\dfrac{1}{2}\sum_k\lambda_k(\delta z_k^2-\omega_k\delta t).
P&L=−21k∑λk(δzk2−ωkδt).