2.信道带宽
接下来再讨论一下通信中经常碰到的信道带宽的概念。从电子电路角度的出发，带宽本意指的是电子电路中存在一个固有通频带。这个概念或许比较抽象，我们有必要做进步的解释。大家都知道，各类复杂的电子电路无一例外都存在电感、电容或相当功能的储能元件，即使没有采用现成的电感线圈或电容，导线自身就是一个电感，而导线与导线之间、导线与地之间便可以组成电容--这就是通常所说的杂散电容或分布电容。不管是哪种类型的电容、电感，都会对信号起着阻滞作用，从而消耗信号能量，严重的话会影响信号品质。这种效应与交流电信号的频率成正比关系，当频率高到一定程度、令信号难以保持稳定时，整个电子电路自然就无法正常工作。为此，电子学上就提出了“带宽”的概念，它指的是电路可以保持稳定工作的频率范围。而这里所说的带宽，可以更确切地理解为模拟信道的带宽。模拟信道可以理解为某个具体的电路，组成信道的电路制成了，信道的带宽就决定了，为了使信号的传输失真小些，信道就需要有足够的带宽。有了模拟信道带宽，自然就有与之对应的数字信道带宽的概念，这个概念也更接近于本书所要讨论的数字通信范畴。数字通信中离我们最近的概念是无线通信，无线通信的信道其实就是空间。显然，我们生活的周围不仅充满了无处不在的空气，同时也充满了无处不在的电磁波，为了不至于使通信发生干扰，各个应用领域都有自己所能使用的频率范围，这个频率范围就是信道的带宽。数字信道的带宽决定了信道能不失真地传输脉冲序列的最高速率。
既然信道带宽决定了传输脉冲序列的最高速率，因此两者之间必然存在一定的关系。实际上这个关系可以用数学公式表达出来，更确切地讲，这个关系可以用两个定理来描述:奈奎斯特(Nyquist)定理和香农(Shannon)定理，见图1-8和图1-9。
早在1924年，贝尔实验室的研究员亨利·奈奎斯特就推导出了有限带宽无噪声信道的极限波特率，称为奈奎斯特定理。奈奎斯特定理指出，若信道带宽为，则最大码元速率R=2W(Baud)。数据速率和波特率是两个不同的概念。若码元取两个离散值，则一个码元携带1比特(bit)信息。若码元可取四种离散值，则一个码元携带2比特信息。总之一个码元携带的信息量n(bit)与码元的种类数N的关系为n=log2N。请大家注意,奈奎斯特定理与我们更为熟悉的奈奎斯特采样定理的区别。采样定理是描述模拟/数字信号的转换过程中，采样频率与信号最高频率之间的关系。关于采样定理的内容后续还会加以讨论。
奈奎斯特定理仅描述了无噪声情况下信道带宽与波特率的关系，根据这一理论，只要增加每个码元的离散值数量，就可以增加信道中可以传输的信息量。然而无噪声的情况在现实中是不存在的。1948年香农定理的提出解决了有噪声情况下带宽与数据速率的关系问题，香农也因此被称为信息论和数字通信时代的奠基人。
图1-9香农1948年提出了香农定理
香农定理表明，在高斯白噪声条件下实现无差错传输的信道容量(通常等同于最大数据速率)C可由下面的公式计算。
式中，W为信道带宽，S为信号的平均功率，N为噪声的平均功率，S/为信噪比。当噪声为高斯白噪声时(功率谱密度为N)，N=WN。这个公式与信号取的离散值无关，也就是说无论用什么方式调制，只要给定了信噪比，则单位时间内最大的信息传输量就确定了。例如，信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则最大数据速率C~30000bps。这是极限值，只有理论上的意义。实际上在3000Hz带宽的电话线上数据速率能达到9600bps就很不错了。
从专业的角度去描述，带宽的意思是指波长、频率或能量带的范围，特指频带的上、下边界频率之差。这里可以打个比喻，带宽其实就像高速公路的路面宽度和允许的最大车速，而数据流则相当于公路上的车流。当车的数量很少时，路面宽一些和窄一些，对车速都没有任何影响:随着车流的逐渐增大，直至某个临界点，路面宽度对车流量的影响才一下子凸显出来，路面窄的话，就不能让更多的车辆在同一时间内通过，甚至造成大车。当然，我们也可以提高允许的最大车速，这样也能使得在单位时间内通过更多的车。也就是说带宽是用来描述频带宽度的，但是在数字传输方面，也常用带宽来衡量传输数据的能力，例如，用它来表示单位时间内传输数据容量的大小、数据吞吐的能力，而数据传输能力与信道带宽的关系又可以通过香农定理联系起来。
1.2.3 采样与频谱搬移
将模拟信号进行数字化的第一个步骤就是采样，最基本的采样定理就是前面提到过的奈奎斯特采样定理，另外我们还要简单讨论一下带通采样定理的相关问题。
1.奈奎斯特采样定理
奈奎斯特采样定理可以表述为:设有一个频率带限信号x()，其频带限制在(0，后)内，如果以不小于大=2后的采样速率对x()进行等间隔采样，得到时间离散的采样信号x(n)=x(nT)(其中T=1，称为采样间隔)，则原信号x(t)将被所得到的采样值x(n)完全确定。
上面这段理论描述读起来总是感觉有些拗口。没有办法，科学需要严谨。如何用更为朴素的平民化的语言来理解这些枯燥的理论正是我们需要做的事。首先需要说明的是“频率带限”的概念，前面已经讨论了频谱及带宽的概念，这里理解“频率带限”就容易得多了。“频率带限”就是信号的频率分量只在一定的频带之内存在，超出这范围的频率分量全部为0。既然是频带信号，则能量就一定是有限的了，也就是所说的能量信号。实际情况中显然不是如此，工程中所处理的信号几乎都是功率信号，因此这里所说的“频率带限”信号只具有理论上的意义。工程上的信号可以看成理论信号的近似，例如，采用滤波器对所要处理的信号进行处理，则带外的信号能量很少，就可以看成“频率带限”信号了，虽然与理论分析的结果有些差异，但并不影响工程应用的正确性。另一个需要注意的概念是“时间离散的采样信号”，注意与工程上实际处理的“数字信号”相区别,“数字信号”在时间和幅值上都是离散的，而定理中描述的采样信号，仅指时间离散，在幅值上并不是离散的值。这又有什么区别呢?对采样后的信号进行量化处理就变成“数字信号”了，两者之间其实存在一个量化误差而已。定理中的最后一句“原信号x()将被所得到的采样值x(n)完全确定”，也就是说可以用采样值x(n)通过一种算法完全恢复出 x()。这里说的“完全确定”、“完全恢复”是指不会引起任何误差的概念，当然实现的前提是信号x()为带限信号，且采样的数值没有经过量化。
奈奎斯特定理说明，如果以不低于信号最高频率两倍的采样速率对带限信号进行采样，那么所得到的离散采样值就能准确地确定原信号。下面我们从数学上进行简单的证明，给出用离散值x(n)表示带限信号x()的数学表达式。引入单位冲激函数8()(也简称冲激函数)，构成周期冲激函数p(t)。
从式(1-9)可以看出，抽样信号的频谱是周期性的，周期为采样频率。这里，根据前
面的讨论，我们可以从以下几个方面进行理解。(1)再次验证前面讨论过的一个概念，即离散信号的傅里叶变换一定是周期性的。(2)采样信号的频谱是无限带宽的，或者说其频率范围扩展到了整个频域，而不只是限于某一个带宽内。
(3)图1-10(a)表示的是实信号的频谱，从傅里叶表达式上可以看出具有原点偶对称的两个部分，但现实中的频谱成分只有正频率部分。
(4)对信号在时域上的采样，在频谱上相当于对频谱进行周期性的搬移，且是同时向频域正反两个方向搬移，这种搬移也可以分别看成原信号频谱正负两部分的周期性搬移，
正负频率部分均向正向搬移，在正频率部分形成实际的频谱形状。(5)对实信号的采样信号仍然是实信号，因此其频谱仍然是相对于原点偶对称的。理解采样对原信号频谱的搬移过程及方法非常重要，这一点在分析带通采样定理时还会用到。从采样前后的频谱形状也可以看出，正是由于傅里叶变换中引入了负频率成分采样前后信号的频谱形状变换关系显得更容易理解。
接下来继续推导采样信号x(n)如何还原成原来的信号x(2)。由图1-10可知，由于采样频率人满足采样定理条件，即大于2后，因此图中的阴影部分频谱并没有与其他频谱混叠。这时只需要用一个带宽不小于 ωn的滤波器，就能够滤出原来的信号x()。同样，图中所画出的矩形低通滤波器在工程上是无法实现的，这里也只具有理论上的意义，但对工程应用具有很强的指导意义。理想滤波器对应的冲激响应h()可以由傅里叶变换公式得到
式(1-11)为采样定理的数学表达式，即带限信号x()可以由其取样值x(n)来准确地表示只要采样频率满足采样条件。采样定理的意义在于，时间上连续的模拟信号可以用时间上离散的采样值来取代，这样就为模拟信号的数字化处理奠定了理论基础。
2.带通信号采样理论
奈奎斯特采样定理只讨论了频谱分布在(0，)上的基带信号的采样问题，如果信号的频率分布在某一有限的频带(,后)上时，那么该如何对这样的带限信号(如图1-11(a)所示)进行采样呢?当然，根据奈奎斯特采样定理，仍然可以按大>2后的采样速率来进采样。但是人们很快就会想到，当后>B=-九时(B为信号带宽)，也就是说，当信号的最高频率后远远大于其信号带宽B时，如果仍然按奈奎斯特采样速率来采样的话，则其采样频率会很高，以致很难实现，或者后续处理的速度也满足不了要求。由于带通信号本身的带宽并不一定很宽，那么自然会想到能不能采用比奈奎斯特采样速率更低的速率来采样呢?
甚至两倍带宽的采样速率来采样呢?这就是带通采样理论要回答的问题。根据信号的傅里叶变换性质,实信号的频谱一定是以零频轴呈对称分布的，如图1-11(a)所示。以频率对其采样后的信号频谱，其实是对原信号以大为周期搬移的结果，如图1-11(b)所示。显然，不失真重建信号的充要条件是搬移后的频谱互不重叠。取图1-11(b)中的第k个周期，该周期内的频谱为原x(的正频谱和负频谱的k次正向搬移，为保证频谱不混叠，要求
对式(1-13)经过简单的整理，可以得到带通信号采样定理:采样速率并不需要一定大于信号最高频率的两倍，用较低的采样速率也可以正确地反映带通信号的特性。对于某带通信号，假设其中心频率为，上下边带的截止频率分别为后=6+B/2=、九=6-B/2。对其进行均匀采样，满足采样值无失真地重建信号的充要条件为：
根据奈奎斯特采样定理，采样频率为人时，只能够无失真的处理小于人/2的信号。也就是说，对于带通采样信号，也只能处理信号带宽全部处于人/2以内的那部分频率信号。根据式(1-15)，容易计算出采样后信号的中心频率取值为6MHz、26 MHz、38 MHz等。因此，采样后需要处理的中心频率为6MHz，信号频率范围为(0.8MHz，11.2MHz)。本地载波信号的频率只需为6MHz即可。也可以理解为，32MHz对(64.8MHz，75.2MHz)频率范围内的信号采样，等同于对(0.8MHz，11.2MHz)采样后获得的信号。这里的“等同有一个前提条件，即信号频带外没有任何噪声。当有噪声时，由于采样后噪声谱的叠加，满足奈奎斯特条件的采样信号显然具有更高的信噪比。在本书后续介绍MATLAB软件时，还会以具体的实例来进一步验证两种采样的区别。
1.2.4噪声与信噪比
1.白噪声与高斯白噪声
在讨论信噪比之前，先回顾一下噪声的概念。在通信中，噪声是无处不在的，正因为有噪声的存在，才使得信息的传输存在各种限制。一般来讲，我们将自然界中存在的随机信号称为噪声，将人为施加的无用信号称为干扰。如何有效避免干扰信号的影响是另外个复杂的研究课题，我们只讨论噪声在数字通信中的影响。噪声，通常的概念指的是白噪声(WhiteNoise)。白噪声是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的。相对地，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声,因为这样在数学分析上更加方便。一般来讲，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱
密度，通常可以认为它们是白噪声。另外一个经常提到的概念是高斯白噪声(White Gaussian Noise,WGN)。如果一个噪声它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。也就是说，高斯白噪声也属于白噪声，只是其幅度分布服从高斯分布而已。高斯白噪声在仿真中应用十分广泛，因为实际系统(包括雷达和通信系统等大多数电子系统)中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声。
这里还需要再说明一下高斯白噪声对通信解调影响的直观理解。我们知道，数字通信中信噪比的大小直接会影响到解调端检测的错误概率。对于某个具体的通信体制及解调方法，信噪比与误码率理论上有固定的换算关系。对于二进制调制方式来讲，检测端只需判断出两种波形的区别即可正确解调出数据。例如，解调后的数据波形类似于正弦波形，这时，一定功率的噪声信号叠加上去，只要噪声的幅度大小不至于影响到信号波形的判决(判断时刻一般选在波峰或波谷处)，也就是噪声的大小不会使波峰的值或波谷的值接近零值，就不会出现误码检测的问题。我们用MATLAB仿真时，一般信噪比，如10dB，会感觉到噪声的幅度好像根本不会出现很大值，也就是说根本不会影响到波形的判决。事实上是这样吗?回想一下高斯分布的特征，虽然信号的大部分幅值都分布在零值附近，叠加到信号上不会产生大的影响，但理论上每个噪声的幅度都可能是无限大的，只是大幅度的噪声值出现的概率较少而已，当仿真的数据长度不够时，可能无法出现大幅度值的噪声值，当仿真数据长度足够时，大幅度值的噪声值将按照高斯分布的概率出现。这些大幅度值的噪声值叠加到信号上，就会引起检测的错误，产生一定的误码率。
根据1.2.1节的讨论，功率信号定义为平均功率有限而能量无穷大的信号，而将能量信号定义为平均功率等于零而能量有限的信号。这样的分类在对模拟信号和数字信号进行比较时是非常有用的。我们将模拟信号归类为功率信号。这有什么意义呢?通常模拟波形的持续时间为无限长,不需要做分割或加时间窗(这里所说的加时间窗的概念请参考文献[20]简单说来，加时间窗会引起时域信号在频域的扩展，为减少这种频谱扩展，需要加减小扩展性能的时间窗，如汉明窗等)。对时域无限的电信号波形而言，其能量无穷大，因此不能
用能量来描述该信号，而功率则是一个更有用的参数。然而，数字通信系统采用时间长度为码元间隔的波形来发送和接收码元。每个码元的平均功率(在整个时间轴上取平均)等于零，所以功率不能用于描述数字信号。对于数字信号，应该采用能在时间窗内度量信号的测度来描述。也就是说，码元能量(功率在一个
码元间隔内的积分)是一个更适于描述数字信号波形的参数。接收能量可以很好地描述数字信号，但这还没有说明为什么EN是数字系统的一个很好的指标。数字波形是代表数字信息的媒介，消息可能包含1比特(二进制)、2比特(四进制)，甚至10比特(1024进制)等。与这种离散信息结构完全不同，模拟通信系统的信源是无限量化的连续波。数字系统的衡量指标必须在比特级上比较两个系统的性能。因为数字信号波形只可能包含1比特、2比特等以比特为单位的信息，所以无法用S/N对数字信号进行描述。例如，若给定差错概率，其二进制信号所需的S/N为20dB，因为二进制波形包含1比特信息，所以每比特所需的S/N是20dB。若信号是1024进制的，所需的SIN仍为20dB。由于该波形包含10比特信息，所以每比特所需的S/N为2dB。由此产生一个问题，为什么不用更适合的参数--比特级别上的能量相关参数EN来描述这个指标呢?这正是数字通信采用E/N来衡量信号质量的主要原因。