重点
- 阿莱悖论(独立性)
- 冯诺依曼公式
关键
了解奈特关于不确定性的研究及其基本结论；
了解行为经济学对时间不确定性的分析，知道“双曲贴现”的概念并运
用该理论解释相关的经济现象；
熟悉期望效用理论，并能运用期望效用函数测度风险，
掌握风险升水等重要概念。
不确定性
- 可能来源于内生性：与人有关的因素
- 外生性： 与人无关的环境因素
双曲线贴现：
与强化学习中的奖励(Reward)和回报(Return)类似
\[R = \sum_{t=0}^T \gamma^t \cdot \text{reward} \]贴现率随着时间显著的下降，但是未来的偏好却总是根据不断变化的现在的时点。个体依采用的贴现率在两期之间作权衡，贴现率低就偏爱近期；贴现率高则偏爱远期
不确定性与期望效用理论(如何应对不确定性)
期望效用理论
不确定性的度量：期望效用理论(EU)
如果知道对时间的时候概率的排序，并以此作为事前决策的依据的过程
- 不确定
- 事后概率已知
单赌
对事件的 n 种可能的结果乘以对应的概率
\[G_s = \{ (p_1a_1, \dots, p_na_n) \} \]复赌
将奖品本身又进行赌博本身的赌博。
- 赌徒在赌场能用 100 元赢得 100 万的概率有多少
风险与不确定
不确定性（uncertainty）：不确定性是指不能肯定某种事件是否会发生，也不知道其发生的概率。
风险（risk）：风险则指虽然不能肯定某种事件是否会发生，但知道其发生的概率
联想：统计学习借用的期望风险和经验风险函数
冯诺依曼——摩根斯坦（VNM）函数
函数的定义又在效用的偏序关系上定义了连续性+独立性
-
完备性：对于任意两个结果 ( A ) 和 ( B )，决策者能够比较并得出 ( A \succ B )、( A \prec B ) 或 ( A \sim B ) 之一，即决策者能够对所有结果进行排序。
-
传递性：如果 ( A \succ B ) 且 ( B \succ C )，则 ( A \succ C )。
-
连续性：如果 ( A \succ B \succ C )，则存在一个概率 ( p ) 使得决策者对 ( B ) 的偏好与一个混合彩票 ( pA + (1-p)C ) 等价，即 ( B \sim pA + (1-p)C )。
-
独立性：如果 ( A \succ B )，则对于任意 ( C ) 和 ( 0 < p \leq 1 )，有 ( pA + (1-p)C \succ pB + (1-p)C )。
根据这些公理，可以证明存在一个函数 ( u )，称为 VNM 效用函数，使得对于任意两个结果 ( A ) 和 ( B )，有 ( A \succ B ) 当且仅当 ( u(A) > u(B) )。
具体来说，VNM 效用函数 ( u ) 满足以下条件：
- 对于确定性结果 ( A ) 和 ( B )，如果 ( A \succ B )，则 ( u(A) > u(B) )。
- 对于一个混合彩票 ( pA + (1-p)B )，效用为 ( u(pA + (1-p)B) = pu(A) + (1-p)u(B) )。
期望效用悖论
阿莱悖论：对于不确定性的情况，人们的选择并不总是遵循期望效用理论
不确定条件下依旧拥有 5 个选择公理（加上不相等公理）
风险与风险度量
风险：通常以实际结果与人们对该结果的期望值之间的离差（deviations）来度量某一事件的风险程度的大小
\[R(A) = \sum_{i=1}^n p_i \cdot |x_i - E(x)| \]通常风险以方差来度量
风险态度
对于一个函数来说，我们通常由凹凸的定义，而对于两点之间的组合，可以用一条直线来表示，曲线代表确定的效用，直线代表不确定的效用
convex function 的效用函数对应的风险态度是风险规避的，concave function 的效用函数对应的风险态度是风险爱好的
affine function 的效用函数对应的风险态度是风险中立的
确定性等值 CE、风险升水
确定性等值（certainty equivalent）：在不确定性条件下，能够使个体在效用上感到满意的确定性收入
\[u(CE) = E(u(x)) \]风险升水（risk premium）：个体愿意为了避免风险而愿意放弃的一部分收入
\[P = | CE - E(x) | \]
投资组合
-
无风险资产
能够保证投资者获得固定的投资回报率\(R_f\) -
风险资产
收益率不确定，但是有一个期望收益率\(R_m\)
通常\(R_m > R_f\)，所以人们会把一定比例的财产投资于风险财产
如果假设投资者投资风险资产的比例为\(b\)，那么预期收益率是一个线性组合
\[R_p = R_f + b(R_m - R_f) \]这个投资组合的风险可以使用该投资组合的方差表示
例题
期望效用例题
在此例中，虽然混合情景的期望值为 5.2 元，消费者却只赋予其与 4 元相同的效用（0.6），表明消费者对不确定性情景存在风险规避行为。
保险定价例题
若不参保，则根据期望效用值与确定性等价的确定性收入相同，可以计算得出
\[u(CE) = 0.95 \cdot u(90000) + 0.05 \cdot u(10000) = 0.95 \cdot \sqrt{90000} + 0.05 \cdot \sqrt{10000} = \sqrt{CE} \\ \Rightarrow CE = 84100 \]那么消费者能够接受的最大保费为
\[R = w_0 - CE = 90000 - 84100 = 5900 \]如果保险公司全额赔付，那么保险公司的个人支出为
\[P = \alpha h = 0.05 \cdot 8000 = 4000 \]那么保险公司的净收益为
\[\pi = R - P = 5900 - 4000 = 1900 \]投资组合例题
1
\[u(小麦) = 0.5 \cdot \log 1900 + 0.5 \cdot \log 1500 = \log 1732.05 \\ u(水稻) = 0.5 \cdot \log 2800 + 0.5 \cdot \log 1000 = \log 1732.05 \]2
假设投资者投资小麦的比例为\(b\)，那么预期收益率是一个线性组合
那么求解 b 是一个优化问题
\[\max u = 0.5 \cdot \log (1900b + 2800(1-b)) + 0.5 \cdot \log (1500b + 1000(1-b)) \]3
依旧是一个保险定价问题，我们在此题只考虑小麦以及赔付旱灾与雨水充沛之间的差值
\[CE = \exp (0.5 \cdot \log 1900 + 0.5 \cdot \log 1500) = 1732.05 \]如果保险商全赔，那么能够接受的最大保费为\(1900 - 1732 = 168\)
4
如果全赔，无利可图，具体解法见上一题
标签：不确定性,风险,log,cdot,0.5,succ,效用,ch3 From： https://www.cnblogs.com/Blackteaxx/p/18239880