\(n\) 球 \(m\) 盒。
谁家数学答题卡。
\(\text{I}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同。
每个球 \(m\) 种放法，\(n ^ m\)。
\(\text{II}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
\(n > m\) 则 \(0\)。
\[\binom {m}{n} n! = \frac{m!}{n!(m - n!)}n!=\frac{m!}{(m - n)!} \]\(\text{III}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
\(n < m\) 则 \(0\)。
设第 \(i\) 个盒子装的球数是 \(cnt_i\)。
然后对于每种方案，向每个盒子里挑选球。就是
\[n! \times [x^n] \left(x + \frac {x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right) ^ m \]多项式快速幂应该问题不大。两秒应该能接受。
\(\text{IV}\)：球之间互不相同，盒子全部相同。
不好考虑，那尝试 dp？
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成 \(j\) 组的方案数。
每个点可以选择加入前面的一个组，也可以选择自己新开一个组。
也就是 \(f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + j f_{i - 1, j}\)。
尝试将这玩意用多项式优化。
\(\text{V}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
\(\text{VI}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同。
设每个盒子里球的数量是 \(cnt_i\)。
用多项式表达出来。
\[[x^n] \left(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
\[[x^n] \left(1 + x\right) ^ m \]也就是
\[\binom{m}{n} \]\(\text{IX}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
\[[x^n] \left(x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。
\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
\(\text{XII}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
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