174. 地下城游戏
https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/description/
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城dungeon的右下角。地下城是由m x n个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至0或以下，他会立即死亡。有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
- 输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]，输出：7，解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为7。
- 输入：dungeon = [[0]]，输出：1。
提示：m == dungeon.length，n == dungeon[i].length；1 <= m, n <= 200；-1000 <= dungeon[i][j] <= 1000。
我们用动态规划的思想来解决这个问题。
确定状态表示：根据经验和题目要求，我们有2个状态表示的方案：
- 用dp[i][j]表示：从起点开始，到达[i, j]位置，所需的最低初始健康点数。
- 用dp[i][j]表示：从[i, j]位置开始，到达终点，所需的最低初始健康点数。
究竟选择哪一种状态表示呢？事实上，哪一种状态表示能推导出状态转移方程，我们就选择哪一种状态表示。
推导状态转移方程：首先考虑前一种状态表示。考虑最近的一步，要想到达[i, j]位置，只有2种情况：
- 先到达[i - 1, j]位置，再向下走一步，到达[i, j]位置。
- 先到达[i, j - 1]位置，再向右走一步，到达[i, j]位置。
如果能推出状态转移方程，那么状态转移方程一定形如dp[i][j] = f(dp[i - 1, j], dp[i, j - 1])。然而，[i, j]右下方的位置是有可能影响到dp[i][j]的。比如，如果右下方有一个房间是-1000，那么所需的初始健康点数就是一个很大的值；如果右下方都是正数，那么可能不需要很大的初始健康点数。也就是说，dp[i][j]和右下方的值相关，但是dp[i][j] = f(dp[i - 1, j], dp[i, j - 1])这个方程与右下方的值无关。从而，我们推导不出状态转移方程。
所以，我们选择后一种状态表示：用dp[i][j]表示：从[i, j]位置开始，到达终点，所需的最低初始健康点数。考虑最近的一步，要想从dp[i][j]位置出发到达终点，只有2种情况：
- 先向下走一步，到达[i + 1, j]位置，再从[i + 1, j]位置出发到达终点。所以，从[i, j]位置出发到达终点需要的最低初始健康点数dp[i][j]，在经历了[i, j]房间后，健康点数变为dp[i][j] + dungeon[i][j]，而dp[i][j] + dungeon[i][j]必须至少是从[i + 1, j]位置出发到达终点所需要的最低初始健康点数dp[i + 1][j]，即dp[i][j] + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j]，从而dp[i][j] >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j]，又由于dp[i][j]表示最低初始健康点数，所以dp[i][j] = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j]。
- 先向右走一步，到达[i, j + 1]位置，再从[i, j + 1]位置出发到达终点。同理可得此时dp[i][j] = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]。
从[i, j]位置出发到达终点所需要的最低初始健康点数，应该是上面2种情况的较小值，即dp[i][j] = min(dp[i + 1][j] - dungeon[i][j], dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]) = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]。
然而这个状态转移方程有个很大的漏洞。如果min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) <= dungeon[i][j]，那么dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j] <= 0。然而血量是不能低于0的，所以我们还需要判断一下，如果计算出来的dp[i][j] <= 0，那么dp[i][j] = 1。
综上所述：状态转移方程为：dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j])。
初始化：观察状态转移方程，我们在计算dp表最后一行和最后一列的值时，会越界访问。所以，我们要对其初始化。这里我们用增加辅助结点的方式来初始化。我们在dp表的最下面和最右边分别加上一行一列辅助结点。接下来我们考虑，如何初始化辅助结点，才能保证后续的填表是正确的。我们把此时的dp表画出来：
? *
? *
? ? ? ? *
* * * * *先考虑右下角的?位置。这个?位置表示，直接从dungeon的右下角出发，到达右下角，所需要的最低初始健康点数。显然这个?位置的值只需要保证，在更新完处于dungeon的右下角的健康点数之后，其值依然大于等于1，也就是说，如果dungeon的右下角是正数，那么?位置的值是1；如果dungeon的右下角是负数，那么?位置的值是1减去dungeon的右下角的值（负负得正）。再观察状态转移方程：dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j])，我们发现，如果dp[i + 1][j] = dp[i][j + 1] = 1，那么dp[i][j] = max(1, min(1, 1) - dungeon[i][j]) = max(1, 1 - dungeon[i][j])，1代表dungeon的右下角是正数的情况，1 - dungeon[i][j]代表dungeon的右下角是负数的情况，刚好符合预期。所以，对于右下角的?位置，我们要把它的下面和右边的2个*位置的值初始化为1。
? *
? *
? ? ? ? 1
* * * 1 *接着考虑除了右下角的?位置之外，其余的?位置。观察状态转移方程： dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j])，我们发现，dp[i + 1][j]和dp[i][j + 1]会涉及到辅助结点。我们只需要把这些辅助结点初始化为+∞，在计算min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1])时，辅助结点的值就不会影响到结果了。由于并没有导致溢出风险的运算，我们用INT_MAX代表+∞即可。
综上所述：我们在dp表的最下面和最右边分别加上一行一列辅助结点，并且把[m - 1, n]和[m, n - 1]位置的值初始化为1，其余辅助结点初始化为INT_MAX。
填表顺序：根据状态转移方程，dp[i][j]依赖于dp[i + 1][j]和dp[i][j + 1]，所以应从下往上，从右往左填表。
返回值：应返回dp表左上角的值，即dp[0][0]。
细节问题：由于新增了一行一列辅助结点，dp表的规模比dungeon的规模大一行一列，即dp表的规模为(m + 1) x (n + 1)。由于辅助结点是在dp表的右下方，并不影响下标的映射关系，所以dp表的[i, j]位置依然对应dungeon的[i, j]位置。
时间复杂度：O(m x n)，空间复杂度：O(m x n)。
class Solution {
public:
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
// 创建dp表
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
// 初始化
dp[m - 1][n] = dp[m][n - 1] = 1;
// 填表
for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
dp[i][j] =
max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
}
}
// 返回结果
return dp[0][0];
}
};