十进制小数与二进制数的转换
- 十进制整数转换为二进制整数
十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
例如把 (173)10 转换为二进制数。
解：
- 十进制小数转换为二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
例如把（0.8125）转换为二进制小数。
解：
浮点数在内存的存储格式
32位系统和64位系统都有float和double两种类型的小数，分别叫做单精度和双精度，它们在内存中的布局如下：
| 高位 | |||
|---|---|---|---|
| 精度 | 符号位 | 阶码 | 尾数 |
| 单精度（float） | 31 | 30-23 | 22-0 |
| 双精度（double） | 63 | 62-52 | 51-0 |
符号位：0表示正，1表示负
阶码：这里阶码采用移码表示，对于float型数据其规定偏置量为127,阶码有正有负，对于8位二进制，则其表示范围为-128-127，double型规定为1023，其表示范围为-1024-1023。比如对于float型数据，若阶码的真实值为2，则加上127后为129，其阶码表示形式为10000010
尾数:有效数字位，即部分二进制位(小数点后面的二进制位)，因为规定M的整数部分恒为1，所以这个1就不进行存储了。
下面举例说明：
float型数据125.5转换为标准浮点格式
125二进制表示形式为1111101，小数部分表示为二进制为 1，则125.5二进制表示为1111101.1，由于规定尾数的整数部分恒为1，则表示为1.1111011*2^6，阶码为6，加上127为133，则表示为10000101，而对于尾数将整数部分1去掉，为1111011，在其后面补0使其位数达到23位，则为11110110000000000000000
则其二进制表示形式为
0 10000101 11110110000000000000000，则在内存中存放方式为：
00000000 低地址
00000000
11111011
01000010 高地址
而反过来若要根据二进制形式求算浮点数如0 10000101 11110110000000000000000
由于符号为为0，则为正数。阶码为133-127=6，尾数为11110110000000000000000，则其真实尾数为1.1111011。所以其大小为
1.1111011*26，将小数点右移6位，得到1111101.1，而1111101的十进制为125，0.1的十进制为1*2(-1)=0.5，所以其大小为125.5。
同理若将float型数据0.5转换为二进制形式
0.5的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，将小数点右移1位，则为1.0*2^(-1)，其阶码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位00000000000000000000000，则其二进制表示形式为
0 01111110 00000000000000000000000
由上分析可知float型数据最大表示范围为1.11111111111111111111111*2127=3.4*1038
对于double型数据情况类似，只不过其阶码为11位，偏置量为1023，尾数为52位。
相关脚本:
自己写的转换脚本（打印十进制小数的内存格式）
import sys,math
def tran1(int_data):
# 整数部分转二进制
if int_data == 1:
return int_data
bit_data = int_data % 2
int_data = int_data // 2
return "" + str(tran1(int_data)) + str(bit_data)
def tran2(dec_data):
# 取整
bit_data = math.floor(dec_data * 2)
# 取小数部分
dec_data = dec_data * 2 - math.floor(dec_data * 2)
if dec_data == 0:
return bit_data
# print(dec_data)
return ""+str(bit_data)+str(tran2(dec_data))
def insert_space(string, every=8):
return ' '.join(string[i:i+every] for i in range(0, len(string), every))
def transform(decimal_str,total_bits):
front_point = int(decimal_str)
after_point = decimal_str - front_point
print(front_point,after_point)
front = tran1(front_point)
after = tran2(after_point)
# 符号
symbols = "1"
if int(decimal_str) >= 0:
symbols = "0"
print("symbols:",symbols)
# 计算阶码
n = bin(len(front)-1 + 2**(total_bits-1)-1)[2:].ljust(8,'0')
print("n:",n)
# 计算尾数
binnum = (front[1:]+after).ljust(23,'0')
print("binnum:",binnum)
result = symbols+n+binnum
print(int(result,2))
print("高位",insert_space(result, every=8))
if len(sys.argv) == 1:
print("输入小数转换成二进制格式")
else:
decimals = sys.argv[1:]
for d in decimals:
transform(float(d),8)
python的一些库也能简单实现：
import struct
import binascii
def float_to_binary(f):
# 将浮点数打包成字节对象
packed = struct.pack('>f', f) # 以大端字节顺序将浮点数打包成字节对象，没有>则是小端
# 将字节对象转换为十六进制字符串
hex_string = binascii.hexlify(packed).decode('utf-8')
# 将十六进制字符串转换为二进制字符串
binary_string = bin(int(hex_string, 16))[2:].zfill(32)
return binary_string
# 测试
f = 11.28125
binary = float_to_binary(f)
print("Float:", f)
print("Binary:", binary)
'''
Float: 11.28125
Binary: 01000001001101001000000000000000
'''
参考：
https://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/10/02/2198280.html
https://www.runoob.com/w3cnote/decimal-decimals-are-converted-to-binary-fractions.html