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前言
回溯法引入：
搜索法是解决问题时常用的方法，最笨的办法是穷举搜索，对于有些问题穷举搜索可以有效的解决，但是对于复杂问题穷举搜索法就不能很好地解决了。因此，在穷举搜索的基础上，提出了一些启发式的搜索方法。
回溯法的本质就是搜索，但是其搜索过程采用了一些“剪枝”的策略，可以一定程度上提高搜索的效率。回溯法也称为试探法，该方法在搜索过程中会向前试探搜索，也会在当前搜索路径走不通时，向后回溯。
一、回溯法
适用回溯法求解的问题
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
⭐ 对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，状态空间E成为问题的解空间；
⭐ 给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。
⭐ 我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
⭐注意，同一问题的解空间可能会有多种定义方式，要选择更简单，效率更高的方式。
二、实例分析
数字组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5，r=3的所有组合为：
(1) 1、2、3 (2) 1、2、4 (3) 1、2、5 (4) 1、3、4 (5) 1、3、5
(6) 1、4、5 (7) 2、3、4 (8) 2、3、5 (9) 2、4、5 (10) 3、4、5
则该问题的状态空间为： E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 }
其中：S={1，2，3，4，5} 约束集为： x1<x2<x3
三、基本步骤
回溯法的基本步骤：
(1)针对所给问题，定义问题的解空间；
(2)确定易于搜索的解空间结构；
(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
常用剪枝函数：
用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；
用目标函数剪去得不到最优解的子树。(优化问题)
剪枝的正确性：
● 对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。
● 换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1,x2,…, xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。
● 因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
● 回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
※重点提醒
- 回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
- 回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
- 回溯法在用来求问题的最优解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍，保留问题的目标函数值最优的解。
回溯算法中用到的几个概念：
- 如果已经搜索到的结点全部满足问题的约束条件，但搜索还没有到达空间树的叶子节点，则称为部分解。
- 如果从根到当前节点的路径对应于问题的一个合法解，过程就终止(除非问题没有解)。
- 如果这条路径的长度小于n，并且相应的解是部分的，那么就生成现节点的一个子节点，并将它标记为现节点(活节点)。
- 如果对应的路径不是部分的，那么现节点标识为死节点。
- 回溯算法有递归形式和非递归形式两种。
四、深度剖析
问题描述：
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
问题的状态空间为 E={（x1，x2，...，xr）∣xi∈S ，i=1，2，...，r }
其中： S={1，2，3，...，n} 约束集为： x1<x2<... <xr
递归算法：
INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。
1. for k =1 to r
2. c[k] =0
3. end for
4. k =1
5. while k≥1
6. while c[k]≤n-1
7. c[k] =c[k]+1
8. if c为合法的 then得到一个r组合，输出c数组
9. else if c是部分解 then k =k+1
10. end while
11. c[k] =0
12. k =k-1
13. end while
非递归算法：
INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。
1. for k =1 to r
2. c[k] =0
3. end for
4. k =1
5. while k≥1
6. while c[k]≤n-1
7. c[k] =c[k]+1
8. if c为合法的 then得到一个r组合，输出c数组
9. else if c是部分解 then k =k+1
10. end while
11. c[k] =0
12. k =k-1
13. end while
总结
这两个算法的复杂性在最坏情况下生成了O(nr)个节点。对于每个生成的节点，如果当前解是合法的、部分的，或者两者都不是，这需要O(r)的工作来检查。因此，最坏情况下，全部的运行时间是O(rnr)。
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