Latex笔记（一）

\documentclass[a4paper]{article}
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\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}% 这两个定义均为matlab代码的色彩定义
% 设置MATLAB代码样式
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    language=Matlab,
    basicstyle=\ttfamily\small, % 设置基本字体
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    emph=[1]{for,end,break}, % 强调的关键词
    emphstyle=[1]\color{red}, % 强调关键词的颜色
}

\begin{document}
\begin{center}
    \section*{插值法数值上机题目}    
\end{center}


\begin{tabular}{@{}p{.5in}p{4in}@{}}
    %批准: & \hrulefill \\
    & \hfillName \\
    & \hfillClass \\
\end{tabular}



\section*{实验题目}
考虑函数：\( R(x):\ y=\frac{1}{1+x^2} \)利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较
\begin{itemize}
    \item 用等距节点 \(X_i=-5+i, i=0,1,\ldots,10\). 给出它的10次Newton插值多项式的图像；
    \item ......
\end{itemize}
% *************************************************
\section*{(1)实验原理（算法原理及数学表达式）：}
  当Lagrage插值多项式的插值节点递减时，计算要全重新进行，于是引入均差的定义.
  称\(f[x_{0},x_{k}] = \frac{f(x_k) - f(x_0)}{x_k - x_0}\)为函数\(f(x)\)关于\(x_0,x_k\)的一阶均差
  \(f[x_{0},x_{1},x_{k}] = \frac{f[x_{0},x_{k}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_k - x_1}\)称为\(f(x)\)的二阶均差。一般地，称为
  \(f[x_{0},x_{1},\cdots,x_{k}] = \frac{f[x_{0},\cdots,x_{k-2},x_{k}] - f[x_{0},x_{1},\cdots ,x_{k-1}]}{x_k - x_{k-1}}\)
  称为\(f(x)\)的k阶均差。
\section*{实验代码（用Matlab语言写出算法的程序）：}

\begin{lstlisting}
    % 代码
    
\end{lstlisting}




\section*{数值结果图（包括数据、图像）：}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.6]{NT.eps}% [大小]{图片名.eps}
    \caption{Newton插值多项式}
    \label{figure}
\end{figure}
  
\section*{实验结果分析与讨论：}
实验结论通常指出牛顿插值法在计算指定点的函数值时非常有效，并且具有较高的精度。然而，也需要注意到牛顿插值法的局限性，如当数据集过于密集或临近插值点较远时，插值多项式的精确度可能会受到限制。
在这种情况下，可能需要采用其他插值方法或增加插值节点数量，以获得更好的逼近效果3。
\section*{上机中出现的问题，解决方法及体会}
\begin{itemize}
    \item 问题：在插值区间的边缘，多项式的振荡可能会非常剧烈，尤其是当使用高阶多项式时。
    如果数据点在插值区间内分布不均匀，可能导致插值精度降低
    \item 解决方法：使用分段低阶多项式进行插值，或者采用切比雪夫多项式来减少振荡。
    \item 尽量选择均匀分布的数据点，或者使用样条插值方法来改善结果
    \item 体会： 在实际应用中，牛顿插值多项式提供了一种灵活的方式来逼近未知函数。
    它允许我们在新增数据点时只需对已有的插值多项式进行简单的修正，而不需要从头开始计算。
    这种方法在处理动态数据集时特别有用。 然而，它也需要我们仔细选择插值点，以避免上述问题，并确保插值结果的准确性和稳定性。
\end{itemize}