343. 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

• 输入: 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 输入: 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
• 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

【思路】

动规五部曲，分析如下：

1、确定dp数组(dp)以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2、确定递推公式

dp[i]最大乘积得到的方式：

1. 一个是j*(i-j)直接相乘
2. 一个是j*dp[i-j]，相当于是拆分(i-j)

dp[i] = max(dp[i], max((i-j) * j, dp[i-j]*j));

理解：j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

3、dp数组的初始化

dp[1]=0，dp[2]=1

4、遍历顺序

从前往后遍历即可

for(int i = 3; i <= n; i++) {
	for(int j = 0; j < i; j++) {
		dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
	}
}

进一步的优化

for(int i = 3; i <= n; i++) {
	for(int j = 0; j <= i / 2; j++) {
		dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
	}
}

5、举例推导dp数组

import java.util.*;
class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i-j)*j, dp[i-j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}