《分数背包问题》快速求解（贪心法）

目录

前言

一、贪心策略

二、具体步骤

实例如下：

三、代码实现

伪代码：

C++代码：

        总结

前言

分数背包问题：

在分数背包问题中，物品可以被分割成更小的部分，可以部分装入背包，而不是只能选择整个物品装入或不装入背包。

一、贪心策略

贪心法在解决分数背包问题时，可以按照 单位重量价值（价值/重量）从大到小的顺序，依次将单位重量价值最大的物品放入背包，直到背包装满为止。这样能够得到一个最优解。

二、具体步骤

1. 计算每个物品的单位重量价值（value/weight）类似于 性价比的意思（不是屌丝饮料哦~）。
2. 按照单位重量价值从大到小排序。
3. 依次将单位重量价值最大的物品放入背包，直到背包无法再放入为止。

实例如下：

这里按照性价比排序：2.1  、2  、1.5  、1.2  、1   

总重量=30+10+20+40=100（这里最后一样物品取4/5）

总价值=65+20+30+48=163

三、代码实现

伪代码：

FractionalKnapsack(values[], weights[], capacity):
    n = length of values[] and weights[]
    
    // 计算每个物品的单位重量价值
    for i from 0 to n-1:
        value_per_weight[i] = values[i] / weights[i]
    
    // 按单位重量价值从大到小排序
    sort items by value_per_weight in descending order
    
    total_value = 0
    remaining_capacity = capacity
    
    // 尝试将物品放入背包
    for i from 0 to n-1:
        if weights[i] <= remaining_capacity:
            total_value = total_value + values[i]
            remaining_capacity = remaining_capacity - weights[i]
        else:
            total_value = total_value + value_per_weight[i] * remaining_capacity
            break
    
    return total_value

C++代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Item {
    int value;
    int weight;
    double value_per_weight;
};

bool compare(Item a, Item b) {
    return a.value_per_weight > b.value_per_weight;
}

double fractional_knapsack(vector<int> value, vector<int> weight, int capacity) {
    vector<Item> items;
    for (int i = 0; i < value.size(); i++) {
        items.push_back({value[i], weight[i], (double)value[i]/weight[i]});
    }

    sort(items.begin(), items.end(), compare);

    double total_value = 0.0;
    int remaining_capacity = capacity;

    for (int i = 0; i < items.size(); i++) {
        if (remaining_capacity >= items[i].weight) {
            total_value += items[i].value;
            remaining_capacity -= items[i].weight;
        } else {
            total_value += items[i].value_per_weight * remaining_capacity;
            break;
        }
    }

    return total_value;
}

int main() {
    vector<int> value = {60, 100, 120};
    vector<int> weight = {10, 20, 30};
    int capacity = 50;

    cout << fractional_knapsack(value, weight, capacity) << endl; // 输出为240.0

    return 0;
}

   结果：（这里我写的性价比分别是 60，50，40 可以根据要求自我修改）

总结：

贪心算法在解决背包问题时具有以下优点和缺点：

优点：
1. 算法简单易懂：贪心算法通常实现简单，易于理解和实现。
2. 时间复杂度低：贪心算法通常具有较低的时间复杂度，适用于大部分实际问题的求解。
3. 快速得到一个近似解：贪心算法能够在较短时间内得到一个较好的近似解，对于一些实际问题来说已经可以满足要求。

缺点：
1. 不能保证得到最优解：贪心算法的局部最优策略不一定能够达到全局最优解，因此无法保证对所有问题都能够得到最优解。
2. 可能存在局部最优解误判：贪心算法可能会因为贪心选择而导致达到一个局部最优解，但最终并不是整体最优解。
3. 需要正确的贪心选择策略：贪心算法对于不同的问题需要选择合适的贪心策略，否则可能会得到错误的结果。

综上所述，贪心算法在背包问题中有其优势和局限性，具体是否选择使用贪心算法取决于问题本身的特点和要求。在实际应用中，需要仔细考虑问题的具体情况，综合考虑算法的优势和局限性，选择合适的解决方法。