\[\newcommand{ch}{\operatorname{ch}} \]
Chapter 13. Field Theory
13.1.
域的特征 \(\ch F\) 要么为质数要么为 \(0\)。\(1\) 张成的子域被称作素子域 prime subfield。但这都不是什么重要的东西。
域扩张 \(K/F\) 是指 \(K\) 拥有 \(F\) 作为子域,\(F\) 被称作该扩张的基域 base field,\(K\) 则可以直接称作 extension field。
\(K/F\) 意味着,通过 \(F\) 元素在 \(K\) 上点积,定义了一个元素为 \(K\) 中元素的线性空间。域扩张的阶数 degree 或者指数 index \([K:F]\) 即为该线性空间的维数。
域同态总是要么平凡 trivial(指所有元素均映到 \(0\))要么单射,因此非平凡域同态总是引领了一个域扩张。
对于 \(F\) 上不可约多项式 \(p(x)\),\(F[x]/(p(x))\) 是 \(F\) 的一个域扩张,在其中 \(p(x)\) 有根 \(\theta\) 为 \(x\) 在自然同态下的项。该域扩张存在基 \(1,\dots,\theta^{n-1}\),\(F[x]/(p(x))=\{\sum f_i\theta^i\}\),该扩张的指数为 \(n\)。
这个定理的核心是,给定不可约的 \(p(x)\),证明存在 \(F\) 的扩域,其中包含 \(p\) 的根。
若 \(K/F\),则对于 \(K\) 中元素 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\),记 \(F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 为 \(F\) 最小的包含 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的扩张。\(F(\alpha)\) 称作单扩张 simple extension,\(\alpha\) 称作其本原元 primitive element。
对于在 \(F\) 上 irreducible 的 \(p(x)\),若有根 \(\alpha\)(这个根显然不在 \(F\) 上而是在 \(K\) 中),则 \(F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))\)。
证明比较神奇,通过构建 \(F[x]\to F(a)\) 的同态,这个同态有其相应的 induce homomorphism \(F[x]/(p(x))\to F(a)\)。
什么是 induce homomorphism?如果 \(\varphi:R\to R'\) 是一个同态,\(S,S'\) 是其各自的理想且满足 \(\varphi(S)\sube S'\),则存在同态 \(R/S\to R'/S'\)。这可以被理解为,如果模 \(S\) 同余的东西 collapse 了那么模 \(\varphi(S)\) 同余的东西也应该 collapse;现在这里 \((p(x))\) 的像根本就是 \(0\) 所以右侧不用 collapse。进一步地,这也可以被理解为 \(F[x]/(p(x))\to F[x]/\Im\to F(a)\),其中第一个是进一步 Collapse,第二个其实是因为满射的缘故,间接说明极小性。
这个定理的核心是,给定 \(p\) 的根,证明前述定理构造出的扩域恰好是包含该根的最小扩域。
扩域的最小性其实不明显,但是马上其实可以看到,\(p\) 其实 associate 一个极小多项式(只要把首项除掉就是极小的),\(p\) 的极小性确保扩域的最小性。
上述定理其实保证了根的不可区分性:\(p\) 所有根对应的单扩域都同构于 \(F[x]/(p(x))\),自然根是不可区分的。区分根的是其连续性性质,也即在 范数空间 中的根是可区分的,然而绸带研究的不是番薯。
进一步地,若 \(F\cong F'\),\(p(x)\in F[x]\) 被映到 \(p'(x)\in F'[x]\),且二者均在其中不可约;令 \(\alpha,\beta\) 为二者在某扩张中的根,则 \(\sigma:F(\alpha)\to F'(\beta),\alpha\to\beta\) 是同构。虽然其与同一个域里的分析没有本质区别,因为同构的域就是同一个域。
13.2.
对于 \(F\) 的扩域 \(K\) 中的元,称其在 \(F\) 上是代数 algebraic 的 如果其是某个多项式的根,否则称其是超越 transcendental 的。代数扩域是所有元素都是代数元的扩域。
对于每个代数元,存在唯一的首一不可约多项式拥有其为根,记作 \(m_{\alpha,F}(x)\)。
从所有的不可约且有其为根的多项式(因为是代数元必然存在)中选择阶最小的任一个。用其作 Euc.Alg. 可以干掉所有阶比它大的,同时让阶和它一样的全部与它 associate,那么 monic 的就只有一个。
这个多项式被称作 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的 minimal polynomial 极小多项式,其阶数也被视作该代数元的阶数 degree。大扩域中的极小多项式必是小扩域中极小多项式的因式。
极小多项式即为恰好满足有 \(F[x]/(p(x))\cong F(\alpha)\) 之多项式。也即,\([F(\alpha):F]=\deg m_\alpha(x)=\deg\alpha\)。
代数元当且仅当其对应的单扩张是有限的。事实上,阶数为 \(n\) 的有限扩张中所有元素都是不超过 \(n\) 阶元,是 \(n\) 阶多项式根的元素是不超过 \(n\) 阶元。
这是因为,\(n\) 阶有限扩张中任意 \(n+1\) 个元素都可以以基域值为系数线性组合出零,因此 \(n\) 阶有限扩张中所有元素都可以是某个不超过 \(n\) 阶多项式的根。
推论:有限扩张都是代数扩张。
一些琐碎的关于扩张阶数的推论:
- \([L:F]=[L:K][K:F]\)。(\(L\) 中所有元都可以由 \(n\) 个 \(L\) 中的元以 \(K\) 中参数组出,\(K\) 中元可以由 \(m\) 个 \(K\) 元以 \(F\) 参数组出,于是这 \(n\) 个 \(L\) 元带上 \(m\) 个 \(K\) 元的系数共 \(nm\) 个元,带上 \(F\) 中系数可以组成一切)
- 推论:\([K:F]\mid[L:F]\)。
\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha)(\beta)\)。因此令 \(F_0=F\),\(F_i=F_{i-1}(\alpha_i)\),\(F_n=K\),则 \([K:F]=[F_1:F_0]\dots[F_n:F_{n-1}]\leq d_1\dots d_n\),其中 \(d_i\) 为 \(\alpha_i\) 单独在 \(F\) 中的阶数。
有限扩域当且仅当其被有限个代数元生成。
有限个代数元生成的必是有限扩域。
反之,有限扩域可以找到有限个基底,依次扩入这些基底构成的扩域即为该有限扩域。
因此,代数元的加减乘除都是代数元(考虑仅包含牵扯到此二代数元的扩域,该扩域是有限扩域,其中包含加减乘除),进而代数元全体构成有限扩域。
代数扩域的代数扩域还是代数扩域。
总结:
不可约多项式扩域,扩出来含该多项式某个根的单代数扩域;至于含哪个根,因为不可约多项式的根之间没有代数区别,所以不在意。
代数元存在零化多项式和唯一的极小多项式,代数元引导的单代数扩域等效于该极小多项式引导的扩域。
有限扩张是存在有限基的扩张。代数扩张是所有元素的有限次幂中会出现线性相关的扩张;有限幂的初次线性相关对应了一个零化多项式,同时也是极小多项式,而更高阶线性相关对应着随意的一个零化多项式
有限基意味着超过基大小的元素集合必然存在线性相关,因此有限扩张中所有元素的阶均不超过扩张的阶,有限扩张必是代数扩张。
有限扩张可以被基描述,所以有限扩张可以被有限次针对基的单代数扩张描述,反之有限次单代数扩张必然得到有限扩张。
有限扩张重复还是有限扩张,代数重复还是代数。
两个域的结合域 composite field \(K_1K_2\) 是同时包含二者的最小域,且必有 \([K_1K_2:F]\leq[K_1:F][K_2:F]\)。因为大扩域的指数必然是小扩域指数的倍数,所以当两个小扩域的指数互质时,大扩域的指数必然是二者积。
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