原理解释

电路实现

以Radix-4 Booth编码为例，Booth乘法的核心是部分积的生成，需要生成\(N/2\)个部分积，每个部分积与\([X]_补\)有关，存在\(-X,-2X,+X,+2X,0\) 这五种可能，其中减去\(X_{补}\)的操作可以认为是按位取反的\(X_{补}\)在末尾+1。为了硬件实现方便，可以将末位1操作提取出来，假设\(X_{补}\)的二进制格式为\(x_6x_5x_4x_3x_2x_1x_0\)，假设部分积\(P=p_7p_6p_5p_4p_3p_2p_1p_0+c\)，那么有：

当部分积微2X时，可以认为X输入左移一位，此时\(p_i=x_{i-1}\)相等。如果部分积的选择为\(-X/-2X\)，则此处对\(x_i\)或\(x_{i-1}\)取反，并设置最后的末位进位\(c=1\)。
由此可以得到每一位\(p_i\)的逻辑表达式为：

Booth结果选择逻辑如下所示：

部分积生成过程中需要利用\(y_{i-1},y_i\)和\(y_{i+1}\)这三个信号来生成需要用到的\(S_{-X},S_{-2X},S_{X},S_{2x}\)的选择信号，通过卡诺图化简可以得到：

选择信号生成部分的逻辑图如下所示：

通过组合上述两个部分，可以形成每个Booth部分积的逻辑图，调用该逻辑通过移位加法策略可以实现两位Booth补码乘的结构。
乘法操作开始时，乘数右侧需要补1位的0，结果需要预置为全0.在每个时钟周期的计算结束后，乘数算术右移两位，被乘数左移两位，直到乘数全为0，乘法结束。
对于N位补码乘法，操作可以在N/2个时钟周期完成。被乘数、结果、加法器和Booth核心的宽度都为2N位。

代码实现

/*
* 基4的booth编码的单周期有符号乘法器
*/

module booth_multiplier_base4 #(
    parameter DATA_WIDTH = 8       // 数据位宽应该为2的指数
)

(  
    input [DATA_WIDTH-1 : 0] a,  
    input [DATA_WIDTH-1 : 0] b,  
    output reg [2*DATA_WIDTH-1 : 0] product,
    input clk
);  
  
    integer i;  
    reg [2:0] booth_bits [DATA_WIDTH/2-1:0];  
    reg [DATA_WIDTH:0] b_extended;
    reg [2*DATA_WIDTH:0] partial_product [DATA_WIDTH/2-1:0];  
    reg [2*DATA_WIDTH-1:0] a_pos, a_neg, a_extend; 
  
    always @(posedge clk) begin  
        b_extended = {b, 1'b0}; // 这里我补了个0，防止索引超出界限
        a_extend = {{DATA_WIDTH{a[DATA_WIDTH-1]}}, a};    // 符号位扩展 ，之前忘记扩展找了好久
        a_pos = a_extend;
        a_neg = ~a_extend + 1'b1;  // 补码运算
        product = 0;

        for (i = 0; i < DATA_WIDTH/2; i = i + 1) begin  
            booth_bits[i] = {b_extended[2*i+2], b_extended[2*i+1], b_extended[2*i]};  

            case (booth_bits[i])
            /*
            $\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} (-2 \cdot b_{2i+2} + b_{2i+1} + b_{2i})$  // LaTex
            { b(2i+2), b(2i+1), b(2i) } :=
                000:    0;
                001:    1;
                010:    1;
                011:    2;
                100:    -2;
                101:    -1;
                110:    -1;
                111:    0;
            */  
                3'b000, 3'b111: partial_product[i] = 9'd0;  
                3'b001, 3'b010: partial_product[i] = a_pos;
                3'b011:         partial_product[i] = a_pos << 1;
                3'b100:         partial_product[i] = a_neg << 1;
                3'b101, 3'b110: partial_product[i] = a_neg; 
            endcase  
        end

        for (i = 0; i < (DATA_WIDTH/2-1); i = i + 1) begin
            product = product + (partial_product[i] << (2*i)); // Shift and accumulate
        end
            
          

    end  
  
endmodule