利用矩阵 SVD 分解，拟合直线与平面

SVD 分解

奇异值分解(Singular Value
Decomposition，以下简称SVD)就是解决最小二乘法的利器，它不仅可以拟合直线、平面，还可以得到点云的最小包围盒。关于 SVD 与最小二乘的数学原理和关联，可以直接网上搜索查找，资料大把。本文主要讲解其几何意义和代码实现。

首先，我们可以将一大堆需要拟合点的坐标(x,y,z)，组成一个 n 行三列的矩阵 A（需要提前减去平均值（\(x_0,y_0,z_0\)）
，即点云的中心与(0,0,0)对齐）也就是去中心化， 然后进行 SVD 分解，得到三个矩阵 \(U\Sigma V^T\)
，矩阵V的第一列（Column）即是直线的方向向量，而第三列就是平面的法线向量。

几何意义来看

让我们先从二维上一个圆说起：
假设一堆点，组成了一个椭圆（图右上角），如果我们要拟合直线，就需要找到这个椭圆的长轴。而矩阵 A 的含义就是，将一个标准圆，经过变换得到我们要拟合的椭圆。

ACM 的解释有意思可以看看

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-svd

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种在线性代数中重要的矩阵分解方法。对于一个矩阵A，SVD将其分解为三个矩阵的乘积，即：A = UΣV^T1。

在这个分解中，U和V都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，且按降序排列。奇异值反映了矩阵A在相应维度上的“能量”或“强度”2。

右奇异向量（即矩阵V中的列向量）可以被看作是原始数据空间中的新特征。这是因为，对于一个mn的矩阵A，我们可以通过计算A^TA得到一个nn的方阵，然后对这个方阵进行特征值分解，得到的特征向量就是右奇异向量1。

这些右奇异向量描述了数据的主要变化方向。特别地，对于高维数据，我们可以通过选择前N个最大的奇异值对应的右奇异向量，来近似描述数据的主要变化方向1。

因此，右奇异向量可以被看作是数据的方向，而对应的奇异值则表示了这个方向的重要性1。这就是为什么一组数据经过SVD得到的右奇异向量可以看作这组数据的方向的原因。希望这个解释对你有所帮助！

源: 与必应的对话， 2024/4/25
(1) 强大的矩阵奇异值分解(SVD) - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/122259109.
(2) 降维算法之奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) - CSDN博客. https://blog.csdn.net/qq_39297053/article/details/136596791.
(3) 特征向量与奇异向量 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/297714734.
(4) 对称矩阵奇异值分解得到的左奇异矩阵和右奇异矩阵一定相等吗？ - 知乎. https://www.zhihu.com/question/497528522.

个人理解

我们输入一组数据的矩阵A可以得到数据的空间示意图：例如