前言
- 平面的三条基本性质,也叫三条公理:
基本事实 1 :过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 .
基本事实 2 :如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 .
基本事实 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .
- 平面的基本性质的推论:
推论 1 :经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 .
推论 2 :经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论 3 :经过两条平行直线,有且只有一个平面.
三点共线
- 证明三点共线或多点共线问题常用以下两种方法:
1、首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实 3 可知,这些点都在这两个平面的交线上.
2、首先选择其中两点,确定一条直线,然后证明其余点也在这条直线上.
证法1:由于 \(AB\cap\alpha=P\),\(AB\subset\) 平面 \(ABC\),
故 点 \(P\in\)平面 \(ABC\),又 \(P\in\alpha\),
则 \(P\) 在平面 \(ABC\) 和平面 \(\alpha\) 的交线上,
同理可证, \(Q\) 和 \(R\) 在平面 \(ABC\) 和平面 \(\alpha\) 的交线上,
所以,\(P\),\(Q\),\(R\)三点共线 .
证法2:由于 \(AP\cap AR=A\),则直线 \(AP\) 和 \(AR\) 确定平面 \(APR\),
又由于 \(AB\cap\alpha=P\), \(AC\cap\alpha=R\),
则平面 \(APR\cap\alpha=PR\),
又由于 \(B\in\) 平面 \(APR\),\(C\in\) 平面 \(APR\),
所以,\(BC\subset\) 平面 \(APR\),
又由于 \(Q\in\) \(BC\),\(Q\in\) 平面 \(APR\),
又 \(Q\in\) \(\alpha\),则 \(Q\in\) \(RP\),
所以,\(P\),\(Q\),\(R\)三点共线 .
三线共点
- 证明三线共点或多线共点问题的方法:
先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点 . 常结合基本事实 3 ,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
证明:由于 \(AD\),\(BC\) 是梯形 \(ABCD\) 的两底,所以 \(AB\) 和 \(CD\) 必交于一点,设 \(AB\cap CD=M\),
则 \(M\in AB\), \(M\in CD\),
又由于 \(AB\subset\alpha\),\(CD\subset\beta\),
则 \(M\in\alpha\),且 \(M\in\beta\),
即 \(M\) 是平面 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的公共点,
又由于 \(\alpha\cap\beta=l\),所以 \(M\in l\),
即 \(AB\),\(CD\),\(l\) 交于一点。
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