Qt 从 QTransform 逆向解出 Translate/Scale/Rotate（平移/缩放/旋转）分析

QTransform 用于图形绘制，它定义了如何平移（translate）、缩放（scale）、切变（shear）、旋转（rotate）或投射（project）坐标系。注意：QTransform 是作用于坐标系，不是直接作用于图形。实际运用中我们可以通过 QPainter 、 QGraphicsView、QGraphicsItem 实现图形的平移、缩放、旋转等操作，但是需要从当前图形对象中获取当前旋转的角度、缩放比例时无法找到合适的函数直接获取。有很多建议是从 QTransform 中获取，因为我们总是能通过 transform 获取到 QTransform ，而且QT帮助文档中也给出了对应矩阵的说明。通过实践发现
QTransform 的矩阵说明是指执行单一变换时矩阵中每个数值的含义，当执行了一系列的平移、缩放、旋转后，该矩阵已经经过多次运算，所包含的数值已经不是我们当时设置的值，也就是说这些值是平移、缩放、旋转相互作用后的数值。如果想得到当初我们设置的数值，就需要经过逆向的计算。

首先，我们需要了解 QTransform 矩阵是如何运算的。为了帮助我们快速了解矩阵的运算过程，我设计了一个小程序，每次平移、缩放、旋转后都会输出 QTransform 计算后的矩阵信息。参考项目地址

QTransform 的定义

QTransform 只是定义了一个变换矩阵，实际的图形变换是由 QPainter 中的绘制程序来实现。QPainter 使用的标准坐标系是：以左上角为原点，X 轴向右，Y 轴向下。QTransform 对象包含一个 3 x 3 矩阵。m31 (dx) 、 m32 (dy) 表示水平与垂直位移。m11 、 m22 表示水平与垂直缩放比。m21 、 m12 表示水平与垂直切变。m13 、 m23 表示水平与垂直投影， m33 是投影因子。 3 x 3 矩阵如下图所示

平面上的一个点通过 QTransform 变换到另外一个点的计算公式如下, (x, y) 为原始点, (x', y')是变换后的点。

 x' = m11*x + m21*y + dx
 y' = m22*y + m12*x + dy
 if (!isAffine()) {
     w' = m13*x + m23*y + m33
     x' /= w'
     y' /= w'
 }

对于一个恒等矩阵（identity matrix），m11、m22、m33 的值为 1，其它值为0。恒等矩阵作用于图形时不会产生任何变化。m12、m21 控制切变，它们会扭曲坐标系。坐标系的旋转（Rotation）是通过同时设置切变（Shear）和缩放（scale）来实现的。坐标系的透视（Perspective）是通过同时设置投影（projection）和缩放（scale）实现的。

很显然，当我们设置了缩放，又设置了旋转，m11、m22 就不再仅表示缩放，m12、m21 也不再仅表示切变。如果要得到原始值，需要经过计算。

Transform 计算与组合

1. Transform 计算

当我们执行如下代码时，最终的 transform 是如何计算出来的呢？

     const double a = qDegreesToRadians(45.0);
     double sina = sin(a);
     double cosa = cos(a);

     QTransform scale(0.5, 0, 0, 1.0, 0, 0);
     QTransform rotate(cosa, sina, -sina, cosa, 0, 0);
     QTransform translate(1, 0, 0, 1, 50.0, 50.0);

     QTransform transform = scale * rotate * translate;

变量 scale 表示的矩阵为：

变量 rotate 表示的矩阵为：

变量 translate 表示的矩阵为：

坐标系变换执行顺序如下：translate -> rotate -> scale

先计算 temp = rotate * translate：

再计算 transform = scale * temp ：

注意：后执行的变换在做矩阵乘法时要放在左边，即左乘

2. Transform 组合

坐标系的旋转会同时影响 m11 m12 m21 m22，坐标系透视会同时影响 m11 m13 m22 m23 m33，所以了解 Transform 的组合必须要了解坐标系的旋转与透视。我们可以先从看似互不影响的操作（实际顺序不同时产生影响）来看。

（1）translate 与 scale

当按照 translate -> scale 的顺序变换时，transform 矩阵中的值就是我们设置的值。

当安照 scale -> translate 的顺序变换时，transform 矩阵中dx dy的值受到 scale 的影响不再是我们设置的值。

这跟前面讲的矩阵的运算顺序有关。

（2）translate 与 rotate

当按照 translate -> rotate的顺序变换时，transform 矩阵中的值就是我们设置的值。

当按照 rotate -> translate 的顺序变换时，transform 矩阵中的dx dy的值受到 rotate 的影响不再是我们设置的值。

dx dy的计算如下图所示：

（3）scale 与 rotate

当按照 scale -> rotate的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

当按照 rotate -> scale 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

（4）shear 与 translate

当按照 translate -> shear 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

当按照 shear -> translate 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

（5）shear 与 scale

当按照 scale -> shear 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

当按照 shear -> scale 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

（6）translate scale rotate

按照 translate -> scale -> rotate 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

按照 translate -> rotate -> scale 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

按照 rotate -> translate -> scale 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

按照 rotate -> scale -> translate 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

按照 scale -> rotate -> translate 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

按照 scale -> translate -> rotate 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

（7）shear translate scale rotate

按照 translate -> scale -> rotate -> shear 的顺序变换时，transform 矩阵中的值的计算方式如下

当 4 种变换混合在一起时，计算非常复杂，这里不再一一列举。可以看出当变换越多时，从transform 的矩阵中反推出原始值非常困难，如果使用过程中仅限于少数的变换，从上面的推导中是可以逆推出原始值的。另外，即使是同样的一组变换，执行顺序不同得到的结果也会不同，更直观的可以运行上面的程序仔细观察一下。