二十一点玩家策略分析
我从很早开始就对二十一点(BlackJack)这个游戏感兴趣了，应该是从看了 决胜 21 点 这个电影开始的吧。前两天，我开始思考，是否真的存在电影中所说的某种方法，来降低庄家的优势，甚至战胜庄家呢？答案是确实存在某种方法降低庄家优势，但战胜庄家是不可能的。或许在过去游戏规则尚不完善的情况下是可能，但在如今是不可能的事情。
基本规则
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目标： 游戏的目标是通过将手中的牌的点数总和尽量接近或达到 21 点，但不能超过 21 点。
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牌面点数： 游戏使用一副或多副扑克牌（去掉大小王），每张牌的点数如下：
- Ace：1 点或 11 点（玩家选择）。
- 2 - 10：对应的点数。
- J、Q、K：均算作10点。
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游戏流程：
- 游戏开始时，玩家和庄家分别会发两张牌，庄家一张明牌一张暗牌。
- 玩家可以选择要牌或停牌。
- 要牌：玩家可以继续获得额外的牌，直到选择停牌或者手中牌的总点数超过 21 点为止。
- 停牌：玩家决定不再要牌，轮到庄家出牌。
- 庄家在玩家停牌后揭开暗牌，根据一定的规则决定是否继续要牌：
- 如果庄家手中的牌总点数小于 17 点，则必须要牌。
- 如果庄家手中的牌总点数大于等于 17 点，则不能再要牌。
- 最后，比较玩家和庄家的牌，点数最接近 21 点且不超过 21 点的一方获胜。如果玩家和庄家的点数相同，则为平局，玩家不输不赢。
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其他规则：
- 如果玩家获得 21 点（一张 A 和一张 10 点牌），称为“黑杰克”（Blackjack），通常会获得额外的奖励。如果庄家和玩家都是黑杰克，则为平局。
- 玩家可以选择加倍下注或者分牌、保险等特殊操作，在下面分析中暂不考虑。
程序模拟
根据 澳门二十一点规则 ，我们可以通过代码实现二十一点程序。在程序中，玩家只考虑要牌和停牌操作，不考虑加倍下注、分牌、保险等特殊操作。
基础数学
蒙特卡洛方法
为了计算玩家的胜率，我们使用蒙特卡洛方法进行模拟。蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的数值计算方法，通过随机抽样来解决问题，其核心思想是通过随机抽样来近似求解问题，从而得到问题的近似解。 根据蒙特卡洛方法，我们可以对二十一点程序进行千万次模拟，来逼近真实概率。
凯利公式
假设博弈胜率为 \(p\) 收益为 \(b\)，败率为 \(q\) 损失为 \(a\)（或称赔率为 \(a:b\)），当前最优投资比率为 \(f\)，其中 \(q=1-p\)。
设初始本金为 \(M_{0}\) ，那么 \(n\) 次博弈后的期望本金为 \(M_{n}\) 为
\[M_{n}=M_{0}(1+fb)^{np}(1-fa)^{nq} \]定义每一轮的收益率为 \(R=(\frac{M_{n}}{M_{0}})^{\frac{1}{n}}\) ，整理上面的式子得到
\[R=(1+fb)^{p}(1-fa)^{q} \]两边化为 \(ln\) 并求解 \(\frac{dR}{df}=0\)，可以得到 \(f\) 的解为
\[f=\frac{p}{a}-\frac{q}{b}=\frac{p}{a}-\frac{1-p}{b} \]也即当 \(f\) 取得上述值时，每一轮的收益率 \(R\) 取最大值。
在一般情况下，赔率中的 \(a=1\) ，那么可以简化上述表达式为
\[f=p-\frac{q}{b}=p-\frac{1-p}{b} \]胜率计算
在二十一点游戏中，玩家可以根据当前手牌和庄家的明牌采取不同的策略，来提升玩家胜率以及收益期望。如果采用恰当的策略，甚至可以击败庄家。此处的击败庄家的含义是，玩家的收益期望大于零。只要玩家收益期望大于零，那么连续赌下去，收益必定为正。
策略一
策略一：只要手牌点数小于等于 11，则必须要牌。如果点数大于等于 12 ，则一定停牌。采用此策略的原因为，如果点数小于等于 11 ，那么要牌后一定不爆牌。如果点数大于等于 12，那么将存在爆牌风险。这是保守主义者使用的策略。
假设玩家采用策略一，在程序中进行千万次蒙特卡洛模拟，统计结果如下：
胜率约为 41.7%，败率约为 52.0%，平率约为 6.3%。如果每次下注 100，则收益期望为 -8.7。
综上，策略一是最简单的策略，同时也是庄家拥有非常大优势的策略。依靠策略一是无法打败庄家的。
策略二
为提升策略一的胜率，我们研究当手牌点数大于等于 12 时，满足什么条件继续要牌，满足什么条件立即停牌。我们可以知道，只要计算玩家继续要牌的胜率 \(P_{h}\) 和玩家立即停牌的胜率 \(P_{s}\)，然后对比胜率即可。由上述分析我们得到策略二。
策略二：只要手牌点数小于等于 11，则必须要牌。如果手牌点数大于 12，则计算 \(P_{h}\) 和 \(P_{s}\) 的值。如果 \(P_{h}>P_{s}\) ，那么玩家继续要牌。如果 \(P_{h}<P_{s}\) ，那么玩家立即停牌。
在一次对局中，实时根据当前卡堆、玩家手牌和庄家点数精确得到 \(P_{h}\) 和 \(P_{s}\) 是非常耗时的。为解决上面的问题，我们可以离线计算最佳策略。下面对每一个元素均进行十万次模拟得到的离线策略表。
策略表一。策略表一是在澳门二十一点规则下进行百万次蒙特卡洛模拟的结果，因此只适合澳门二十一点规则。 _strategyTable[i][j] 表示玩家手牌点数之和为 12 + i 且庄家手牌字面点数为 j 时的策略，值为 1 表示要牌，值为 0 表示停牌，值为 -1 表示非法操作。
private readonly int[,] strategyTable = new int[10, 11]
{
{ -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 },
{ -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 },
{ -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 },
{ -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0 },
{ -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 },
{ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
{ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },
}
假设玩家采用策略二和策略表一，在程序中进行千万次蒙特卡洛模拟，统计结果如下：
胜率约为 42.8%，败率约为 49.2%，平率约为 8.0%。如果每次下注 100，则收益期望为 -4.8。
策略表二。下面参考 二十一点基础策略表 进行模拟。
假设玩家采用策略二和策略表二，在程序中进行千万次蒙特卡洛模拟，统计结果如下：
胜率约为 42.3%，败率约为 48.8%，平率约为 8.9%，如果每次下注 100，则收益期望为 -5.0。
综上，策略二对比策略一，降低了庄家优势，使玩家的收益期望从 -8.7 提升到 -4.8。由此可见，只要玩家采取合适的策略，确实可以提升玩家优势。在策略二中，玩家采用不同的策略表也会导致玩家收益期望的变化，玩家必须使用最优策略表或实时计算当前局面的最优策略（玩家是不可能做到的，必须借助计算机），才能最大限度的发挥策略二的优势。当然，由于收益期望仍然为负数，因此仍然无法打败庄家。
策略三
如果在一场博弈后，庄家没有重新洗牌，而是继续从卡堆中抽卡来进行下一局，那么必然会使卡堆的数量越来越少。卡堆数量越少，玩家的可以得知的信息就越多，而这就是玩家战胜庄家的关键。假如玩家实时跟踪卡堆中牌的数量，玩家将有机会战胜庄家，即使玩家收益期望值为正数。如果庄家在每一场博弈后，就立即洗牌，那么玩家永远无法战胜庄家。
在接下来，我们将考虑卡堆会随着每局的进行而减少的情况。在策略一和策略二中，均未考虑此情况。
一般而言，如果卡堆中大点数牌（比如 Ace，10，J，Q，K 等等）的数量相对较少，那么对于玩家是劣势的。如果卡堆中小点数牌（比如 2，3，4，5，6 等等）的数量相对较少，那么对于玩家是优势的。因此，玩家可以对已经出现的牌进行计数，计数值从 0 开始计算。如果出现小点数，那么计数值 + 1。如果出现大点数，那么计数值 - 1。在下一局，玩家可以根据计数值来得知，当前局面是对庄家有利，还是对玩家有利。
在 21 点游戏中，最有名同时最简单的算牌方法是 Hi-Lo算牌法。如果出现 2，3，4，5，6 ，则计数值 + 1，如果出现 Ace，10，J，Q，K ，则计数值 -1 。计数值越大，则对玩家越有利，此时开始下大注。计数值最小，则对庄家越有利，此时开始下小注或者停止对局。由上述分析，我们基于策略二得到策略三。
策略三：只要手牌点数小于等于 11，则必须要牌。如果手牌点数大于 12，则计算 \(P_{h}\) 和 \(P_{s}\) 的值。如果 \(P_{h}>P_{s}\) ，那么玩家继续要牌。如果 \(P_{h}<P_{s}\) ，那么玩家立即停牌。在每一次博弈时，通过 Hi-Lo 算牌法进行计数，如果计数值越大，则玩家下注的筹码越多。如果计数值越小，则玩家下注的筹码越少或者停止赌博。
假设玩家采用策略三，在程序中模拟 1 副扑克牌，只要卡堆中牌的数量小于等于一半就重新洗牌，每次洗牌时通过调整牌的数量强制使 Hi-Lo 计数值为 +5，进行一百次蒙特卡洛模拟来实时计算要牌/停牌最优策略（不需要太精确，一百次已经够用），并进行百万次蒙特卡洛模拟连续博弈，统计结果如下：
胜率约为 43.6%，败率约为 48.1%，平率约为 8.3%。如果每次下注 100，则收益期望约为 -2.55。
其他不变，修改每次洗牌时强制使 Hi-Lo 计数值为 +10，统计结果如下：
胜率约为 44.0%，败率约为 46.4%，平率约为 9.53%。如果每次下注 100，则收益期望约为 0.1。
其他不变，修改每次洗牌时强制使 Hi-Lo 计数值为 +15，统计结果如下：
胜率约为 43.6%，败率约为 44.4%，平率约为 12.0%。如果每次下注 100，则收益期望约为 2.5。
在 Hi-Lo 计数值为大于 +10 时，我们成功战胜了庄家！使收益期望值为正数！
虽然玩家胜率始终低于庄家胜率，但由于存在玩家 BlackJack 时 1:1.5 赔率的规则，因此使得最终的收益期望值为正数。模拟时使用的扑克牌副数为 1，而实际的 Hi-Lo 计数值，应该乘以扑克牌的副数。对于一百次模拟计算要牌/停牌最优策略，玩家可以在实际博弈时粗略的根据策略表得到要牌/停牌策略。综上，我们可以修改上述策略三的内容，得到优化后的策略三。
策略三（优化版）：只要手牌点数小于等于 11，则必须要牌。如果手牌点数大于 12，则根据策略表进行要牌/停牌。在每一次博弈时，通过 Hi-Lo 算牌法进行计数，如果计数值大于等于 10 * 扑克牌副数，则玩家根据凯利公式进行下注。否则，玩家应当下最小注的筹码，甚至停止博弈。
在上面的分析中我们知道，在 Hi-Lo 计数值大于等于 10 * 扑克牌副数的情况下玩家战胜庄家，但在普遍情况下，玩家真的能战胜庄家吗？几乎不可能。我通过程序进行一千万次连续博弈，在一副扑克并且少于一半时立即洗牌，出现 Hi-Lo 计数值大于等于 10 的情况只有可怜的 9800 次，平均而言，只有一千次博弈，才能换来一次玩家优势。对于一般的玩家，经历一千次博弈，早已身心俱疲或者筹码早输光。
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