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I.商群与同态与等价类

商群揭示了一种等价关系，这种等价关系之间有着额外的像群一样的互动。同理，同态也是一种等价关系：不同的元素映到相同的像，这划分成为众多等价类，同样有似群的互动。第一同态定理揭示了二者的联系，即商群与满同态之间本质的等价性。

II.子群积

两个或多个结构的积 \(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n\)，其中每个 \(\alpha_i\) 都可以是元素或子集或子群，被定义为其中每个结构中取出一个元素，然后按顺序相乘，得到的新集合。这种运算被本人称作子群积。

子群积是群中元素乘法的直接扩展。首先我们希望考虑那些二元子群积，双方都是群的场合。

何时有 \(HK\) 是群。当且仅当 \(HK=KH\)。

正规子群与任何子群的子群积均为子群。正规子群与正规子群的子群积为正规子群。

同时，正规子群与无交子群的子群积其实是一个内半直积，与无交正规子群的子群积是一个内直积。

III.群作用

群作用与 \(G\to S_A\) 的同态（这被称作群作用的 permutation representation）存在双射。

群在集合上的作用有两个重点，是轨道和稳定子。轨道构成 \(A\) 的一组划分，稳定子则是对 \(A\) 中每个元素 \(a\)，令 \(G_a=\{g\mid g\cdot a=a\}\)。

轨道-稳定子定理说明，对于每个 \(a\)，其所在轨道的大小，乘以其对应稳定子的阶，等于 \(G\) 的阶。这其实本质上是，稳定子的每个左陪集对应了映到轨道中每个元素的所有 \(g\)。

Faithful 的群作用的 kernel 只有 \(1\)。Transitive 的群作用 Orbit 唯一。

所有的 conjugacy 构成自同构群的子群；任何 \(g\) 都可以对应正规子群 \(H\) 的自同构群，也即存在 \(G\to\Aut(H)\) 的单同态，该同态的 \(\ker\) 是 \(C_G(H)\)，也即 \(G/C_G(H)\) 同构于自同构群的子群。如果 \(H\) 任意，有 \(N_G(H)/C_G(H)\) 同构于子群；其一个特例就是 \(G/Z(G)\cong\Inn(G)\)。

如下性质彼此等价：

• \(H\times K\cong H\rtimes K\)。
• \(K\unlhd G\)。
• \(K\to\Aut(H)\) 的映射是 trivial homomorphism。

IV. Cayley 定理

left regular representation：\(g\cdot h=gh\) 是一个群所对应的最本质的群作用：其同时是 transitive 和 faithful 的，也揭示了 Cayley 定理。同理也有 \(g\cdot aH=gaH\) 的扩展，其 kernel 是全体 \(H\) conjugate 的交集：\(aH\) 的 stabilizer 是 \(H\) 的 \(a\)-conjugate。这个全体 \(H\) conjucate 的交集，正是 \(H\) 包含的最大正规子群。

left-reg-rep over \(H\) 是一种判定正规性的方法，因为其对应的 perm-rep \(\pi_H\) 的 \(\ker\) 是其包含的最大正规子群。

注意，这里的 \(\pi_H\)，就算 \(H\) 是正规子群，也与 natural homomorphism \(\pi:G\to G/H\) 不同。

lrr 是群的另一种描述，而 lrr over cosets 是陪集的另一种描述；正规子群的场合，其也是商群的另一种描述。lrr 本身提供了另一种思路看群的方法。如果涉及的元素与阶、指数等相关，且涉及的结构很少，那么从群作用的角度分析问题也不失为一种佳策。

共轭类和对应的群方程。群方程其实是 \(|S|=|\text{Fix}|+\sum|\text{non-trivial orbits}|\) 的特例，其中 \(\text{Fix}\) 是在一切 \(g\) 下不变的不动点。但是这个定理其实并不是很有用（倒是可以拿来推 Burnside）。

不过，群方程定理最有用的一点，还是在处理某些模意义之类的问题。诸如广义 Cauchy 定理就可以用群方程证。

\(S_n\) 的共轭类是全体同环长划分集合；但是其子群（例如 \(A_n\)）不是，因为两个等环排列可能需要子群外元素才能互相达到。

\(A_5\) 的单性证明：运用正规子群是若干共轭类拼接的定理。

V. Sylow

第一定理：存在 Sylow \(p\)-子群。

第二定理：所有的 Sylow \(p\)-子群彼此共轭；小 \(p\)-子群嵌在大 \(p\)-子群内部。

第三定理：\(n_p\equiv1\pmod p\)，且 \(n_p=|G:N_G(P)|\)。

Sylow \(p\)-子群，唯一、正规、characteristic、仅由 \(p\) 幂次阶元生成的群都是 \(p\)-群，这四件事等价。

VI.各种列

“某某 series”，是一种较为本质的描述某个群性质的东西。

composition series 对于每个群都唯一存在，其中每一项的商群（唤作 composition factor）都是单群。每个群的不同 series 间，存在 rearrange 后商群 factor 同态的方案（Jordan-Holder）

Solvable group 也有对应的群列，每一项商群都是 Abelian。有 Phillip-Hall 定理，可解群当且仅当满足 Sylow 定理的扩展，对于每个 \(n=pq,\gcd(p,q)=1\)，都存在阶为 \(p\) 的子群。

有限生成 Abelian 群可以写成 \(\Z^r\times\prod\limits_{i=1}^sZ_{n_i}\)，其中 \(r\) 被称作 free rank 或 Betti number，\(n_i\) 被称作 invariant factor，这种表达方式被称作 invariant factor decomposition，是唯一的。

\(Z_{n_i}\) 可以被进一步按照不同质数的幂次拆开来，每一项 \(p^{\beta_i}\) 被称作 elementary divisor，此种方式被称作 elementary divisor decomposition。

VII.换位子

\([x,y]=x^{-1}y^{-1}xy\)，满足 \(xy=yx[x,y]\)。

换位子群是一切满足 \(G/N\) 是 Abelian 群的 \(N\) 的子群。也即，任何 \(G\to A\)，其中 \(A\) 是 Abelian 群，都 factor throughs \([G,G]\)。