点线共面问题

前言

• 平面的三条基本性质，也叫三条公理：

基本事实 1 ：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 .

基本事实 2 ：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 .

基本事实 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .

• 平面的基本性质的推论：

推论 1 ：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 .

推论 2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论 3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

点线共面

• 证明点、线共面问题的理论依据是基本事实 1 和基本事实 2 . 常用方法有以下几种：

(1)纳入法，先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内 .

(2)同一法，先由其中一部分点、线确定一个平面 \(\alpha\) ，其余点、线确定另一个平面 \(\beta\)，再证平面 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 重合.

(3)反证法，假设不共面，结合题设推出矛盾 .

典例剖析

【2024届高一训练题】证明两两相交且不共点的三条直线确定一个平面[或 两两相交且不共点的三条直线在同一个平面内]。

已知：\(a\cap b=B\)，\(a\cap c=A\)，\(b\cap c=C\)，

求证：直线 \(a\)，\(b\)，\(c\)在同一平面内 .

法1：纳入法，如图所示，\(a\cap b=B\)，故由平面基本性质的推论 2 ^[1]可知，直线 \(a\)，\(b\) 确定一个平面，记为平面 \(\alpha\)，则 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .

又由于 \(a\cap c=A\)，\(c\cap b=C\)，且 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .则点 \(A\in \alpha\)，点 \(C\in \alpha\)， 故直线 \(AC\in \alpha\)，即 \(c\subset \alpha\)，

故直线 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 确定了一个平面 \(\alpha\)，即两两相交且不共点的三条直线在同一个平面内 .

法2：同一法，如图所示，\(a\cap b=B\)，故由平面基本性质的推论 2 可知，直线 \(a\)，\(b\) 确定一个平面，记为平面 \(\alpha\)，则 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .

又由 \(b\cap c=B\)，故由平面基本性质的推论 2 可知，直线 \(b\)，\(c\) 确定一个平面，记为平面 \(\beta\)，则 \(b\subset \beta\)，\(c\subset \beta\) .

对于点 \(B\) 而言，\(B\in \alpha\)，且 \(B\in\beta\)，

对于点 \(A\) 而言，\(A\in \alpha\)，且 \(c\subset\beta\)，\(A\in c\)，故点 \(A\in \beta\)，

对于点 \(C\) 而言，\(C\in \beta\)，且 \(C\in b\)，又 \(b\subset\alpha\)，故点 \(C\in \alpha\)，

故不共线的三个点 \(A\)，\(B\)，\(C\) 既在平面 \(\alpha\) 内，也在平面 \(\beta\) 内，

故平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 重合，即直线 \(a\)，\(b\)，\(c\)在同一平面内 .

法3：反证法，略。

【2024届高一训练题】求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面。

已知：\(a//b//c\)，\(l\cap a=A\)，\(l\cap b=B\)，\(l\cap c=C\) .

求证：直线 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 和 \(l\) 共面 .

证明：同一法，如图所示，由于 \(a//b\)，故由平面基本性质的推论 3 可知，直线 \(a\)，\(b\) 确定一个平面，记为平面 \(\alpha\)，

由于 \(l\cap a=A\)，\(l\cap b=B\)，所以 \(A\in a\)，\(B\in b\)，

又 \(A\in l\)，\(B\in l\)，由基本事实 2 可知，有 \(l\subset \alpha\)，

由于 \(b//c\)，故由平面基本性质的推论 3 可知，直线 \(b\)，\(c\) 确定一个平面，记为平面 \(\beta\)，

由于 \(l\cap c=C\)，\(l\cap b=B\)，所以 \(C\in c\)，\(B\in b\)，

又 \(C\in l\)，\(B\in l\)，由基本事实 2 可知，有 \(l\subset \beta\)，

又 \(b\subset \alpha\)，\(b\subset \beta\)， \(l\cap b=B\)，

这样经过平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 内的公共点 \(B\) 有了两条不同的直线 \(l\) 和 \(b\)，

由基本事实 3 可知，平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 重合，

故直线 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 和 \(l\) 共面 .