第十节 闭区间上连续函数的性质

一 、有界性与最大值最小值定理

对于在区间I 上有定义的函数 \(f(x)\), 如果有 \(x₀∈I\), 使得对于任一 \(x ∈I\) 都有
\(f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀))\), 那么称$ f(x₀)$ 是函数 \(f(x)\) 在区间 I 上的最大值(最小值)

定理1: (有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

二 、零点定理与介值定理

定理2: (零点定理) 设函数 \(f(x)\) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a) 与f(b) 异号( 即\(f(a)·f(b)<0\)) , 则在开区间 (a,b) 内至少有一点 \(ξ\), 使 \(f(ξ)=0\).

定理3: (介值定理) 设函数 \(f(x)\) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 \(f(a)=A\) 及 \(f(b)=B\), 则对于 A 与 B 之间的任意一个数C, 在开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得
  \(f(ξ)=C (a<ξ<b)\);

推论 在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(x) 的值域为闭区间 [m,M], 其中 m 与 M 依次为 f(x) 在 [a,b] 上的最小值与最大值.

三、一致连续性

定义 设函数 f(x) 在区间 I 上有定义.如果对于任意给定的正数ε, 总存在正数 \(\varepsilon\), 使得对于区间 I 上的任意两点 x₁,x₂, 当 \(|x₁-x₂|<δ\) 时，有
  \(|f(x₁)-f(x₂)|<\varepsilon\),
那么称函数 f(x) 在区间 I 上一致连续.

一致连续性表示，不论在区间I 的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.

定理4: (一致连续性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b] 上连续，那么它在该区间上一致连续