第三节 函数的极限

一、函数极限的定义

  在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限

主要研究两种情形：
(1) 自变量 x 任意接近于有限值 \(x_0\) 或者说趋于有限值 \(x_0\) (记作 \(x→x₀\))时，对应的 函数值 \(f(x)\) 的变化情形；

(2) 自变量 x 的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大(记作 \(x→\infty\)) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 的变化情形.

1. 自变量趋于有限值时函数的极限

  以 \(x_0\) 为中心的任何开区间称为点 \(x_0\) 的邻域，记作 \(U(x₀)\); 在 \(U(x₀)\) 中去掉中心 \(x_0\) 后，称为点 \(x_0\) 的去心邻域，记作 \(\overset{\circ}{U}(x_0)\).

定义1: 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 \(ε\) (不论它多么小), 总存在正数 \(δ\), 使得当 x 满足不等式 \(0<|x-x₀ |<\delta\) 时， 对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式
\(\qquad |f(x)-A|<\varepsilon\),
那么常数A 就叫做函数 \(f(x)当x→x₀\) 时的极限，记作
\(\qquad \underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=A\quad 或\quad f(x)\rightarrow A (当x\rightarrow x_0)\).

定义中 \(0<|x-x₀|\) 表示 \(x≠x₀\) , 所以 \(x→x₀\) 时 \(f(x)\) 有没有极限，与 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 是否有定义并无关系.

定义1可以简单地表述为:
\(\qquad \underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exist \delta>0, 当 0<|x-x_0|<\delta 时，有|f(x)-A|<\varepsilon\).